1第2课时利用向量求空间角课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知点A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.5√2266B.-5√2266C.5√2222D.-5√2222解析⃗AB=(2,-2,-1),⃗CD=(-2,-3,-3),而cos⃗AB,⃗CD=⃗AB·⃗CD|⃗AB||⃗CD|=53×√22=5√2266,故直线AB和CD所成角的余弦值为5√2266.答案A2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析取AB的中点D,连接CD,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故⃗AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,√3,3),设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,c),2根据m·⃗AB1=0,m·⃗AC1=0,解得m=(3,-√3,2),cos=m·⃗AA1|m||⃗AA1|=12.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°,故选A.答案A3.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴⃗AD=(0,1,0).取PD的中点E,则E(0,12,12),∴⃗AE=(0,12,12),易知⃗AD是平面PAB的一个法向量,⃗AE是平面PCD的一个法向量,所以cos<⃗AD,⃗AE>=√22,故平面PAB与平面PCD的夹角为45°.答案B4.(2020山西大学附属中学高二阶段测试)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1B1的中点,则异面直线AM与B1C所成角的余弦值为()A.√105B.√1010C.√32D.√223解析以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),∴⃗B1C=(-1,0,-1),∴|⃗B1C|=√2. M为A1B1的中点,∴M1,12,1.∴⃗AM=0,12,1,∴|⃗AM|=√52.∴异面直线AM与B1C所成角的余弦值为|cos<⃗AM,⃗B1C>|=⃗AM·⃗B1C|⃗AM||⃗B1C|=√105.故选A.答案A5.两个平面的法向量分别为(0,-1,3)和(2,2,4),则这两个平面的夹角的余弦值为.解析由\(0,-1,3\)·\(2,2,4\)√1+9×√4+4+16=-2+12√10×√24=√156,知夹角的余弦值为√156.答案√1566.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为.解析建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),则⃗A1D=(2,0,-2),⃗A1E=(0,2,-1).设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗A1D=0,n·⃗A1E=0.则{2x-2z=0,2y-z=0,即{x=z,z=2y.4令y=1,得n=(2,1,2).易知平面ABCD的法向量为m=(0,0,1),则cos=n·m|n||m|=23...
