1高考原生态满分练2三角函数与解三角形[典例](本题满分12分)(2020·全国卷Ⅱ,17)在△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求角A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.学生解答教师批阅分析1:本题第(1)问是求三角形的内角,应先求其某一三角函数值.本题第(2)问,要求周长的最大值,实质是求AB+AC的最大值,因此可用基本不等式(方法一),也可利用正弦定理将AB+AC用角B或C的三角函数表示,然后借助三角恒等变换求得最值(方法二).分析2:第(1)问求得cosA=-12后,不说明A∈(0,π),直2接得出A=2π3.分析3:第(2)问,采用方法一,利用不等式求最值时,不说明等号成立的条件.分析4:方法一中,在得到AC+AB≤2√3后直接下结论△ABC周长的最大值为3+2√3,没有通过不等式进行推理说明.方法二中,在得到AB+AC+BC的表达式后,不确定角B的取值范围,直接得出最大值.满分答题高考原生态满分练2三角函数与解三角形解(1)由题意并结合正弦定理可得BC2-AC2-AB2=AC·AB,2分3由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA,∴cosA=AC2+AB2-BC22AC·AB=-12,3分∵A∈(0,π),∴A=2π3.4分(2)(方法一)由余弦定理及(1)得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=AC2+AB2+AC·AB=9,即(AC+AB)2-AC·AB=9.6分∵AC·AB≤(AC+AB2)2(当且仅当AC=AB时取等号),7分∴9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-(AC+AB2)2=34(AC+AB)2,9分∴0
