1习题课椭圆的综合问题及应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知直线l过点(3,-1),椭圆C:x225+y236=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1B.1或2C.2D.0答案C2.点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部,则a的取值范围是()A.(-√2,√2)B.(-∞,-√2)∪(√2,+∞)C.(-2,2)D.(-1,1)答案A3.已知椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,当△F1PF2的面积为1时,⃗PF1·⃗PF2等于()A.0B.1C.2D.12解析设P(x0,y0),则依题意有S△F1PF2=12·|F1F2|·|y0|=1,而|F1F2|=2√3,所以y0=±√33.故得x0=±2√63.取P(2√63,√33),可得⃗PF1·⃗PF2=0.答案A4.过点M(-2,0)的直线m与椭圆x22+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1,直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为()2A.2B.-2C.12D.-12解析设直线m与x2+2y2=2的交点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则中点P(x0,y0),且x0=x1+x22,y0=y1+y22,将P1(x1,y1),P2(x2,y2)代入x2+2y2=2,可得x12+2y12=2,x22+2y22=2,以上两式相减,可得x12−x22+2(y12−y22)=0,则由于k1=y1-y2x1-x2,k2=y0x0=y1+y2y1+y2,所以1+2y1-y2x1-x2×y1+y2y1+y2=0,即1+2k1k2=0,所以k1k2=-12.答案D5.若点O和点F分别为椭圆x29+y28=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则⃗OP·⃗FP的最小值为()A.214B.6C.8D.12解析 点P为椭圆x29+y28=1上的任意一点,设P(x,y)(-3≤x≤3,-2√2≤y≤2√2),依题意得左焦点F(-1,0),∴⃗OP=(x,y),⃗FP=(x+1,y),∴⃗OP·⃗FP=x(x+1)+y2=x2+x+72-8x29=19(x+92)2+234. -3≤x≤3,∴32≤x+92≤152,∴94≤(x+92)2≤2254,∴14≤19(x+92)2≤22536.∴6≤19(x+92)2+234≤12,即6≤⃗OP·⃗FP≤12.答案B6.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,原点O与线段MN的中点P连线的斜率为√22,则mn的值是.3解析由{y=1-x,mx2+ny2=1消去y,得(m+n)x2-2nx+n-1=0.则MN的中点P的坐标为nm+n,mm+n.所以kOP=mn=√22.答案√227.已知斜率为2的直线l被椭圆x23+y22=1截得的弦长为√307,则直线l的方程为.解析设直线l的方程为y=2x+m,与椭圆交于A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由{x23+y22=1,y=2x+m,消去y并整理得14x2+12mx+3(m2-2)=0,所以x1+x2=-67m,x1x2=314(m2-2).由弦长公式得|AB|=√1+k2·√\(x1+x2\)2-4x1x2=√5·√3649m2-67\(m2-2\)=√307,解得m=±√13,所以直线l的方程为y=2x±√13.答案y=2x±√138.已知椭圆E的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点C(1,32)在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)若点P在椭圆E上,且t=⃗PF1·⃗PF2,求实数t的取值范围.解(1)依题意,设椭圆...
