1第三章空间向量与立体几何§3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3.1空间向量基本定理课后篇巩固提升合格考达标练1.在四面体O-ABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若⃗OG=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC,则(x,y,z)为()A.(14,14,14)B.(34,34,34)C.(13,13,13)D.(23,23,23)答案A解析如图所示,连接AG1并延长交BC于点E,则E为BC的中点,⃗AE=12(⃗AB+⃗AC)=12(⃗OB-2⃗OA+⃗OC),⃗AG1=23⃗AE=13(⃗OB-2⃗OA+⃗OC).因为⃗OG=3⃗GG1=3(⃗OG1−⃗OG),所以⃗OG=34⃗OG1.则⃗OG=34⃗OG1=34(⃗OA+⃗AG1)=34(⃗OA+13⃗OB−23⃗OA+13⃗OC)=14⃗OA+14⃗OB+14⃗OC.所以(x,y,z)为(14,14,14).2.已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=⃗OA+⃗OB+⃗OC,向量b=⃗OA+⃗OB−⃗OC,则不能与a,b构成空间的一个基的向量是()A.⃗OAB.⃗OB2C.⃗OCD.⃗OA或⃗OB答案C解析 a=⃗OA+⃗OB+⃗OC,b=⃗OA+⃗OB−⃗OC,∴⃗OC=12(a-b),∴⃗OC与向量a,b共面,∴⃗OC,a,b不能构成空间的一组基.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设⃗AB=a,⃗AD=b,⃗AA1=c,A1C1与B1D1的交点为E,则⃗BE=.答案-12a+12b+c解析如图,⃗BE=⃗BB1+⃗B1E=⃗AA1+12(⃗B1C1+⃗B1A1)=⃗AA1+12(⃗AD−⃗AB)=-12a+12b+c.4.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=αa+βb+γc时,α+β+γ=.答案3解析由已知d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3,所以{α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.5.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,⃗MA=-13⃗AC,⃗ND=13⃗A1D,设⃗AB=a,⃗AD=b,⃗AA1=c,试用a,b,c表示⃗MN.解连接AN,则⃗MN=⃗MA+⃗AN.由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得3⃗AC=⃗AB+⃗AD=a+b,⃗MA=-13⃗AC=-13(a+b),又⃗A1D=⃗AD−⃗AA1=b-c,故⃗AN=⃗AD+⃗DN=⃗AD−⃗ND=⃗AD−13⃗A1D=b-13(b-c),所以⃗MN=⃗MA+⃗AN=-13(a+b)+b-13(b-c)=13(-a+b+c).等级考提升练6.{a,b,c}为空间向量的一组基,则下列各选项中,能构成空间向量的一组基的是()A.{a,a+b,a-b}B.{b,a+b,a-b}C.{c,a+b,a-b}D.{a+b,a-b,a+2b}答案C解析对于选项A,因为(a+b)+(a-b)=2a,所以a,a+b,a-b共面,不能构成基,排除A;对于选项B,因为(a+b)-(a-b)=2b,所以b,a+b,a-b共面,不能构成基,排除B;对于选项D,a+2b=32(a+b)-12(a-b),所以a+b,a-b,a+2b共面,不能构成基,排除D;对于选项C,若c,a+b,a-b共面,则c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b,则a,b,c共面,与{a,b,c}为空间向量的一组基相矛盾,故c,a+b,a-b不共面,可以构成空间向量的一组基,故选C.7.如图...
