1/19拓展二数列求和常用的方法（精讲）思维导图2/193/19考点一裂项相消法【例1】（2021·全国高二课时练习）数列{an}的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1＋S4＝0，b9＝a1.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn＝，求数列{cn}的前n项和Wn.【答案】（1）an＝2n－1；bn＝2n－17；（2）.【解析】（1） an是Sn和1的等差中项，∴Sn＝2an－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1.∴a1＝1且an≠0，∴＝2，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝2n－1，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1.设{bn}的公差为d，b1＝－S4＝－15，b9＝－15＋8d＝1，∴d＝2，∴bn＝－15＋(n－1)×2＝2n－17.（2）cn＝＝，常见考法4/19∴Wn＝＝＝.【一隅三反】1．（2021·全国）已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn；（2）令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】（1）an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)；（2）．【解析】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2．∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．（2） an＝2n＋1，∴－1＝4n(n＋1)，∴．故Tn＝b1＋b2＋…＋bn∴数列{bn}的前n项和Tn＝．2（2021·六盘山高级中学高二月考（文））已知数列的各项均为正数，其前项和满足．（1）证明：数列是等差数列；5/19（2）设数列，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由题意，数列的各项均为正数，且满足．当时，，可得，即，因为，所以，当时，，解得．所以数列是首项为1，公差为2的等差数列．所以数列是等差数列为．（2）由（1）知，可得，所以.3．（2021·内蒙古集宁一中（文））等差数列中，，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知等差数列中，，由可得，由等差数列的定义可得：是以为首项，以为公差的等差数列，6/19所以.（2）由（1）得.所以.考点二错位相减法【例2】（2021·六盘山高级中学高二月考）设等差数列中，，各项均为正数的数列的前项为，已知点在函数的图像上，且．（1）求数列和的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为．【答案】（1）；；（2）．【解析】（1）解：设等差数列的公差为，则，∴； 点在函数的图像上∴，∴，即；∴数列为等比数列，首项为，公比为3．∴，即...
