1第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积课后篇巩固提升必备知识基础练1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于()A.9B.0C.-3D.-9答案D解析由已知得p·q=3×3×cos180°=-9.2.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则|a+b|=()A.√13B.√26C.13D.21答案A解析由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.将|a|=4,|b|=3代入上式,求得a·b=-6.|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=13,所以|a+b|=√13.3.(2021江苏南京期末)已知正方形ABCD的边长为3,⃗DE=2⃗EC,则⃗AE·⃗BD=()A.3B.-3C.6D.-6答案A解析如图,因为正方形ABCD的边长为3,⃗DE=2⃗EC,所以⃗AE·⃗BD=(⃗AD+⃗DE)·(⃗AD−⃗AB)=⃗AD+23⃗AB·(⃗AD−⃗AB)=⃗AD2−13⃗AD·⃗AB−23⃗AB22=32-23×32=3.故选A.4.(2020全国Ⅲ卷)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos
=()A.-3135B.-1935C.1735D.1935答案D解析 a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,∴|a+b|=7,∴cos=a·\(a+b\)|a||a+b|=195×7=1935.5.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列选项正确的有()A.|a·b|=|a||b|⇔a∥bB.a,b反向⇔a·b=-|a||b|C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b|D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|答案ABC解析A. a·b=|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角),∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cosθ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故A正确.B.若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cosπ=-|a||b|且以上各步均可逆.故B正确.C.当a⊥b时,在平面内任取一点O,作⃗OA=a,⃗OB=b,则以OA,OB为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,在平面内任取一点O,作⃗OA=a,⃗OB=b,则以OA,OB为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故C正确.D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故D错误.6.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.答案0或4解析|2a-b|=√4a2-4a·b+b2=√8-4a·b.又a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.故|2a-b|=0或4.7.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则⃗AB·⃗BC的值是.答案-13解析(方法一)⃗AB·⃗BC=|⃗AB||⃗BC|cos(180°-∠B)=-|⃗AB||⃗BC|cos∠B=-|⃗AB||⃗BC∨|⃗AB||⃗BC|=-|⃗AB|2=-1.(方法二)|⃗BA|=1,即⃗BA为单位向量,⃗AB·⃗BC=-⃗BA·⃗BC=-|⃗BA||⃗BC|cos∠ABC,...
