1第2课时空间中直线、平面的垂直课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2020云南楚雄高二检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,⃗A1P=⃗λA1B1,⃗C1C=3⃗C1M.若PN⊥BM,则λ=()A.12B.13C.23D.34解析如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则P(λ,0,1),N12,12,0,B(1,0,0),M0,1,23,⃗PN=12-λ,12,-1,⃗BM=-1,1,23,所以⃗PN·⃗BM=λ-12+12−23=0,即λ=23.故选C.答案C2.(多选题)在菱形ABCD中,若⃗PA是平面ABCD的法向量,则以下等式中一定成立的是()A.⃗PA·⃗AB=0B.⃗PC·⃗BD=0C.⃗PC·⃗AB=0D.⃗PA·⃗CD=0解析 PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又AC⊥BD,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC, PC⊂平面PAC,∴PC⊥BD.故A,B,D都成立.答案ABD3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则()2A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析建立分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则⃗DA1=(1,0,1),⃗AC=(-1,1,0),E13,0,13,F23,13,0,⃗EF=13,13,-13,∴⃗EF·⃗DA1=0,⃗EF·⃗AC=0,∴EF⊥A1D,EF⊥AC.又⃗BD1=(-1,-1,1),∴⃗BD1=-3⃗EF,即EF与BD1平行.答案B4.已知平面α的一个法向量a=(x,1,-2),平面β的一个法向量b=-1,y,12.若α⊥β,则x-y=.解析因为α⊥β,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.答案-15.已知空间四点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则P的坐标为.解析由题意得⃗PA=(-x,1,-z),⃗AB=(-1,-1,-1),⃗AC=(2,0,1),由⃗PA⊥⃗AB,得⃗PA·⃗AB=x-1+z=0,由⃗PA⊥⃗AC,得⃗PA·⃗AC=-2x-z=0,解得{x=-1,z=2.故点P的坐标为(-1,0,2).答案(-1,0,2)6.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0).所以⃗A1F=(-x,a,-a),⃗C1E=(a,x-a,-a).因为⃗A1F·⃗C1E=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,所以⃗A1F⊥⃗C1E,即A1F⊥C1E.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.3证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).易知⃗CD=(-4,2,0),⃗AE=(2,4,0),⃗AP=(0,0,h). ⃗CD·⃗AE=-8+8+0=0,⃗...
