课后限时集训(五十八)圆锥曲线中的证明、探索性问题建议用时：40分钟1．(2020·合肥模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B(0，b)，△A1A2B的面积等于2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q(1,0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线．[解](1)由离心率为得，＝①.由△A1A2B的面积为2得，ab＝2②.a2＝b2＋c2③，∴联立①②③解得，a＝2，b＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)记点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)．注意到A1(－2,0)，∴直线PA1的方程为y＝(x＋2)，与椭圆＋y2＝1联立并整理得(m2＋9)x2＋4m2x＋4m2－36＝0，由－2＋x1＝得x1＝，代入直线PA1的方程得y1＝，即M.同理可得N.∵Q(1,0)，∴QM＝，QN＝，由·＝·知，M，Q，N三点共线．2．(2021·全国统一考试模拟演练)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.[解](1)设双曲线的离心率为e，焦距为2c，在－＝1中令x＝c，则－＝1，则＝－1＝，故y＝±，若|AF|＝|BF|，则a＋c＝，所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，所以e＝2.(2)由(1)得双曲线方程为－＝1，设B(x，y)(x＞0，y＞0)，kAB＝，kBF＝，设∠BAF＝θ，则tanθ＝，tan2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，所以∠BFA＝2∠BAF.3．设D是圆O：x2＋y2＝16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|＝|ED|.当点D在圆O1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知点P(2,3)，过F(2,0)的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x＝8于点M.试判断直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列，并说明理由．[解](1)设点Q(x，y)，D(x0，y0)，因为2|EQ|＝|ED|，点Q在直线m上，所以x0＝x，|y0|＝|y|.①因为点D在圆O：x2＋y2＝16上运动，所以x＋y＝16.②将①代入②，可得x2＋2＝16.即曲线C的方程为＋＝1.(2)直线PA，PM，PB的斜率依次构成等差数列，理由如下．由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，令x＝8，得点M的坐标为(8,6k)．由消去y，并整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16(k2－3)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝.③记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.因为直线AB的方程为y＝k(x－2)，所以y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，所以k1＋k2＝＋＝＋－3＝2k－3×.④把③代入④，得k1＋k2＝2k－3×＝2k－1.又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3，于是直线PA，PM，PB的斜率依次构成等差数列．2
