19.3向量基本定理及坐标表示9.3.1平面向量基本定理必备知识基础练1.如图所示,在矩形ABCD中,⃗BC=5e1,⃗DC=3e2,则⃗OC等于()A.12(5e1+3e2)B.12(5e1-3e2)C.12(3e2-5e1)D.12(5e2-3e1)答案A解析⃗OC=12⃗AC=12(⃗BC−⃗BA)=12(⃗BC+⃗DC)=12(5e1+3e2).2.如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么下列说法正确的是()A.若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0B.对空间任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈RC.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内D.对于平面α内任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对答案A解析B错,这样的a只能与e1,e2在同一平面内,不能是空间任意向量;C错,在平面α内任意向量都可表示为λ1e1+λ2e2的形式,故λ1e1+λ2e2一定在平面α内;D错,这样的λ1,λ2是唯一的,而不是无数对.3.在△ABC中,⃗AD=14⃗AB,DE∥BC,且与边AC相交于点E,△ABC的中线AM与DE相交于点N,设⃗AB=a,⃗AC=b,则用a,b表示⃗DN等于()A.14(a-b)B.14(b-a)C.18(a-b)D.18(b-a)答案D解析由题意得⃗DN=12⃗DE=12(⃗AE−⃗AD)=18(⃗AC−⃗AB)=18(b-a).24.已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为.答案(-∞,4)∪(4,+∞)解析若a,b能作为平面内的一组基底,则a与b不共线.a=e1+2e2,b=2e1+λe2,由a≠kb(k∈R),得{1≠2k,2≠kλ,解得λ≠4.5.已知向量a在基底e1,e2下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底e1+e2,e1-e2下可以表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则实数λ=,μ=.答案52-12解析由条件可知{λ+μ=2,λ-μ=3,解得{λ=52,μ=-12.6.已知在△ABC中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点.若⃗AB=a,⃗AC=b,用a,b表示⃗AD,⃗AE,⃗AF.解⃗AD=⃗AB+⃗BD=⃗AB+12⃗BC=a+12(b-a)=12a+12b;⃗AE=⃗AB+⃗BE=⃗AB+13⃗BC=a+13(b-a)=23a+13b;⃗AF=⃗AB+⃗BF=⃗AB+23⃗BC=a+23(b-a)=13a+23b.7.设e1,e2是平面内一组基底,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底表示向量c=3e1-e2.(1)证明假设a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得{λ=1,3λ=-2,方程无解,所以λ不存在.故a与b不共线,可以作为一组基底.(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),3则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以{m+n=3,-2m+3n=-1,解得{m=2,n=1.所以c=2a+b.关键能力提升练8.如图,在△ABC中,⃗AD=13⃗AC,⃗BP=23⃗BD,若⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC(λ,μ∈R),则λμ等于()A.32B.23C.3D.13答案A解析由题意...
