1/121.4.1空间向量应用（一）思维导图2/12考法一平面的法向量【例1】（2020年广东潮州）如图已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量．【答案】见解析【解析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．(1) SA⊥平面ABCD，∴AS＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．(2) AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴AD＝是平面SAB的一个法向量．(3)在平面SCD中，DC＝，SC＝(1,1，－1)．设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥DC，n⊥SC，所以得方程组∴令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．常见考法3/12【一隅三反】1．（2020年广东惠州）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【答案】见解析1.利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC(3)列方程组：由列出方程组(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)(6)得结论：得到平面的一个法向量2.求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为04/12【解析】设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)．(1)连接AC(图略)，因为AC⊥平面BDD1B1，所以AC＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量．(2)DB＝(2,2,0)，DE＝(1,0,2)．设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．∴∴∴令x＝2，得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量.2．（2019·涟水县第一中学高二月考）四棱锥中，底面，为正方形的对角线，给出下列命题：①为平面PAD的法向量；②为平面PAC的法向量；③为直线AB的方向向量；④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．其中正确命题的序号是______________【答案】②，③，④【解析】①因为底面是正方形，所以，由平面PAD知不是平面PAD的法向量；②由底面是正方形知，因为底面，BD平面ABC...
