综合素养评价（一）平面向量与正、余弦定理1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b等于()A．(4,0)B．(0,4)C．(4，－8)D．(－4,8)解析：选C由a∥b知4＋2m＝0，所以m＝－2,2a－b＝(2，－4)－(m,4)＝(2－m，－8)＝(4，－8)．2．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于()A.B．C.D．(1,0)解析：选B设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝x＋y＝.由解得即b＝.故选B.3．在△ABC中，若a＝b，A＝2B，则cosB等于()A.B．C.D.解析：选B由正弦定理，得＝，∴a＝b可化为＝.又A＝2B，∴＝，∴cosB＝.4．已知向量a＝(m－1,1)，b＝(m，－2)，则“m＝2”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A当m＝2时，a＝(1,1)，b＝(2，－2)，所以a·b＝(1,1)·(2，－2)＝2－2＝0，所以a⊥b，充分性成立；当a⊥b时，a·b＝(m－1,1)·(m，－2)＝m(m－1)－2＝0，解得m＝2或m＝－1，必要性不成立．所以“m＝2”是“a⊥b”的充分不必要条件．5．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，则sinB的值为()A.B．C.D.解析：选C由正弦定理，得b2－a2＝ac，又c＝2a，所以b2＝2a2，所以cosB＝＝，所以sinB＝.6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ的值为()A．1B．C.D.解析：选D过C作CE⊥x轴于点E.由|OC|＝2，且∠AOC＝，得|OE|＝|CE|＝2，所以OC＝OE＋OB＝λOA＋OB，即OE＝λOA，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.7．在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1)，若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t＝________.解析：由已知，得BA·BC＝0，则(3－t，t＋1)·(－3－t,0)＝0，∴(3－t)(－3－t)＝0，解得t＝3或t＝－3，当t＝－3时，点B与点C重合，舍去．故t＝3.答案：38．已知e为一个单位向量，a与e的夹角是120°.若a在e上的投影为－2e，则|a|＝________.解析： |a|·cos120°＝－2，∴|a|×＝－2，∴|a|＝4.答案：49．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sinB＝，S△ABC＝，则b的值为________．解析：由＝⇒＝⇒a＝c.①由S△ABC＝acsinB＝且sinB＝得ac＝5.②联立①②得a＝5，且c＝2.由sinB＝且B为锐角知cosB＝，由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.答案：10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，...
