习题课（二）导数的几何意义及应用一、选择题1．(2020·衡水调研)曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2解析：选A因为y＝1－＝，所以y′＝＝，y′x＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线的斜率为2,所以所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.2．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D．解析：选A因为y′＝－，所以令y′＝，解得x＝3，即切点的横坐标为3.3．(2020·太原模拟)已知函数f(x)＝xlnx＋a的图象在点(1，f(1))处的切线经过原点，则实数a的值为()A．1B．0C.D．－1解析：选A f(x)＝xlnx＋a，∴f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，f(1)＝a，∴切线方程为y＝x－1＋a，∴0＝0－1＋a，解得a＝1，故选A.4．若点P是函数y＝ex－e－x－3x－≤x≤图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是()A.B．C.D．解析：选B由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，α∈[0，π)．又－≤x≤，tanα＝k<0，所以α的最小值是，故选B.5．若曲线y＝f(x)＝lnx＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()A.B．C．(0，＋∞)D．[0，＋∞)解析：选Df′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．6．设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是()A．[－1,2]B．(3，＋∞)C.D．解析：选D由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1， ex＋1>1，∴∈(0,1)．由g(x)＝3ax＋2cosx，得g′(x)＝3a－2sinx，又－2sinx∈[－2,2]，∴3a－2sinx∈[－2＋3a,2＋3a]．要使过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则解得－≤a≤.故选D.二、填空题7．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________.解析：依题意得，f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，f′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，得b＝0.又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.答案：18．若曲线y＝ln(x＋a)的一条切线为y＝ex＋b，其中a，b为正实数，则a＋的取值范围为________．解析：由y＝ln(x＋a)，得y′＝.设切点为(x0，y0)，则有⇒b＝ae－2. b...
