1第七章复数7.3*复数的三角表示7.3.1复数的三角表示式7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021河南郑州期末)已知z=cosπ3+isinπ3,则下列结论正确的是()A.z2的实部为1B.z2=z-1C.z2=zD.|z2|=2答案B解析z=cosπ3+isinπ3=12+√32i.z2=12+√32i2=14−34+√32i=-12+√32i,其实部为-12,故A错误;z-1=-12+√32i=z2,故B正确;z=12−√32i≠z2,故C错误;|z2|=-122+√322=1,故D错误.故选B.2.将复数z=-2√3+2i化成三角形式是.答案4(cos56π+isin56π)解析模长|z|=√\(-2√3\)2+22=4,设辐角为θ,tanθ=-√33,且点(-2√3,2)在第二象限,得辐角主值为56π,故z=4(cos56π+isin56π).3.[2(cos60°+isin60°)]3=.答案-8解析原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos180°+isin180°)=-8.4.计算:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)].解4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)]=42[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)]=2[cos(-240°)+isin(-240°)]2=2(-12+√32i)=-1+√3i.5.已知z1=12(cosπ3+isinπ3),z2=6cosπ6+isinπ6,计算z1z2,并说明其几何意义.解z1z2=12×6×cos(π3+π6)+isinπ3+π6=3(cosπ2+isinπ2)=3i.首先作复数z1对应的向量⃗OZ1,然后将⃗OZ1绕点O按逆时针方向旋转π6,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应向量.6.已知复数z=r(cosθ+isinθ),r≠0,求1z的三角形式.解1z=\(cos0°+isin0°\)r\(cosθ+isinθ\)=1r[cos(0°-θ)+isin(0°-θ)]=1r[cos(-θ)+isin(-θ)].关键能力提升练7.复数z=-1+(1+i1-i)2021的辐角主值为.答案3π4解析因为1+i1-i=i,所以(1+i1-i)2021=i2021=i.所以z=-1+i=√2cos3π4+isin3π4,所以复数z的辐角主值为3π4.8.(12-√32i)20÷(3i)=.答案-√36+16i解析原式=[cos(-π3)+isin(-π3)]20÷3cosπ2+isinπ2=cos(-20π3)+isin(-20π3)÷3cosπ2+isinπ2=cos4π3+isin4π3÷3cosπ2+isinπ2=13cos4π3−π2+isin(4π3-π2)=13cos5π6+isin5π6=13(-√32+12i)=-√36+16i.39.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,解决以下问题:(1)试将复数eπ3i写成a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形...
