1第一章测评(二)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若平面α⊥平面β,且平面α的一个法向量为n=(-2,1,12),则平面β的法向量可以是()A.(1,12,14)B.(2,-1,0)C.(1,2,0)D.(12,1,2)解析因为平面α⊥平面β,所以平面α的法向量与平面β的法向量互相垂直.设平面β的法向量为m=(x,y,z),则有n·m=-2x+y+12z=0,即4x-2y-z=0.对于A,4×1-2×12−14≠0,故A不成立;对于B,4×2-2×(-1)-0≠0,故B不成立;对于C,4×1-2×2-0=0,故C成立;对于D,4×12-2×1-2≠0,故D不成立.答案C2.(2020安徽宿州期末)已知a=(1,k,-2),b=(2k,2,4),若a∥b,则实数k的值为()A.-2B.2C.-1D.1解析根据题意,a∥b,设a=tb(t∈R),即(1,k,-2)=t(2k,2,4)=(2kt,2t,4t),则有{1=2kt,k=2t,-2=4t,解得k=-1.答案C3.(2020河南新乡期末)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P是线段D1B上一点,且BP=2D1P,若⃗AP=x⃗AB+y⃗AD+z⃗AA1,则x+y+z=()A.53B.232C.43D.1解析 BP=2D1P,∴⃗BP=2⃗PD1,即⃗AP−⃗AB=2(⃗AD1−⃗AP)=2⃗AD1-2⃗AP,即3⃗AP=⃗AB+2⃗AD1,即⃗AP=13⃗AB+23⃗AD1=13⃗AB+23⃗AD+23⃗AA1,所以x=13,y=23,z=23,所以x+y+z=53.答案A4.(2020湖南常德期末)已知直线l1的一个方向向量为a=(1,-2,2),直线l2的一个方向向量为b=(1,2,0),则两直线所成角的余弦值为()A.√53B.2√55C.-√55D.√55解析直线l1的一个方向向量为a=(1,-2,2),直线l2的一个方向向量为b=(1,2,0),则两直线所成角的余弦值为|cos
|=|a·b||a||b|=33√5=√55.答案D5.已知a=(1-t,1,0),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是()A.1B.√2C.√3D.√5解析 a=(1-t,1,0),b=(2,t,t),∴b-a=(1+t,t-1,t),∴|b-a|=√\(1+t\)2+\(t-1\)2+t2=√3t2+2,∴当t=0时,|b-a|取最小值√2.答案B6.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°解析平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),∴cos=1×\(-3\)+0×1+1×3√12+02+12×√\(-3\)2+12+32=0.∴平面α与β所成的角等于90°.答案D7.3(2020江苏南京期末)已知动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1(不含端点)上.设D1PD1B=λ,若∠APC为钝角,则实数λ的取值范围为()A.(0,13)B.(0,12)C.(13,1)D.(12,1)解析由题设,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),∴⃗...
