立体几何中的最值、翻折、探索性问题考点一立体几何中的最值问题解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是利用空间几何体的侧面展开图；三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法(如三角函数等)及高阶函数的拐点导数法等．[典例1](1)如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，面对角线B1D1上存在一点P使得A1P＋PB最短，则A1P＋PB的最小值为()A.B．C．2＋D．2(2)如图所示，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2.若点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．(1)A[如图，把△A1B1D1折起至与平面BDD1B1共面，连接A1B交B1D1于P，则此时的A1P＋PB最短，即为A1B的长，在△A1B1B中，由余弦定理求得A1B＝，故选A.](2)[解]因为PA⊥平面ADE，AD⊂平面ADE，AB⊂平面ADE，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又因为AE⊥AD，B为AE中点，所以PA，AD，AB两两垂直．以{AB，AD，AP}为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，则各点的坐标为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．BP＝(－1,0,2)，故可设BQ＝λBP＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)．又CB＝(0，－1,0)，所以CQ＝CB＋BQ＝(－λ，－1,2λ)．又DP＝(0，－2,2)，所以cos〈CQ，DP〉＝＝.1设1＋2λ＝t，t∈[1,3]，则cos2〈CQ，DP〉＝＝≤，当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈CQ，DP〉|的最大值为.因为y＝cosx在上单调递减，所以当λ＝时直线CQ与DP所成角取得最小值．又因为BP＝＝，所以BQ＝BP＝.点评：本例(1)属于线段和的最值问题，求解时采用了化空间为平面，化折为直的重要手段；本例(2)属于解决空间角的最值问题，求解时采用了把空间角的余弦三角函数值表示为参数λ的二次函数，利用这个函数的单调性求三角函数值的最值，求解时需要注意的是函数中自变量的取值范围对最值的决定作用．(2020·广州模拟)如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥AB，平面ABD⊥平面ABC，AB＝BC＝AC，且AD＋BC＝4.(1)证明：BC⊥平面ABD；(2)设E为棱AC的中点，当四面体ABCD的体积取得最大值时，求二面角CBDE的余弦值．(1)证明：因为AD⊥AB，平面ABD⊥平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，AD⊂平面ABD，所以AD⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以AD⊥BC.因为AB＝BC＝AC，所以A...
