1第2章一元二次函数、方程和不等式2.1相等关系与不等关系2.1.2基本不等式课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知00.∴x(1-x)≤(x+1-x2)2=14,当且仅当x=1-x,即x=12时等号成立.2.(多选题)下列不等式一定成立的是()A.x2+14>x(x>0)B.x+1x≥2(x>0)C.x2+18≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(x∈R)答案BC解析A中,当x=12时,x2+14=x,所以A不一定成立;B中,当x>0时,x+1x≥2,当且仅当x=1时等号成立,所以B一定成立;C中,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,所以C一定成立;D中,因为x2+1≥1,所以0<1x2+1≤1,所以D不成立.3.已知t>0,则t2-3t+1t的最小值为.答案-1解析t2-3t+1t=t+1t-3≥2√t·1t-3=-1,当且仅当t=1时等号成立.24.设a>0,b>0,且不等式1a+1b+ka+b≥0恒成立,求实数k的最小值.解因为a>0,b>0,所以原不等式可化为k≥-1a+1b(a+b),所以k≥-ba+ab-2.因为ba+ab≥2,当且仅当a=b=1时等号成立.所以-ba+ab-2的最大值为-4.所以k≥-4,即k的最小值为-4.5.已知a,b,c为正数,求证:b+c-aa+c+a-bb+a+b-cc≥3.证明左边=ba+ca-1+cb+ab-1+ac+bc-1=(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)-3. a,b,c为正数,∴ba+ab≥2(当且仅当a=b时等号成立);ca+ac≥2(当且仅当a=c时等号成立);cb+bc≥2(当且仅当b=c时等号成立).从而(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)≥6(当且仅当a=b=c时等号成立).∴(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)-3≥3,即b+c-aa+c+a-bb+a+b-cc≥3.关键能力提升练6.(2021安徽宣城高一期末)已知a>0,b>0,若不等式1a+2b≥m2a+b恒成立,则实数m的最大值为()A.10B.9C.8D.7答案C解析因为a>0,b>0,则m≤(1a+2b)(2a+b),所以(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2√ba·4ab=8,当且仅当ba=4ab,即b=2a时等号成立,要使不等式恒成立,则m≤8.即实数m的最大值为8.故选C.37.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式正确的是()A.√ab2<1a+1bB.ab≤a2+b22C.ab≤(a+b2)2D.(a+b2)2≤a2+b22答案BCD解析当a=2>0,b=2>0时,1a+1b=1,√ab2=1,√ab2=1a+1b,故A不正确;显然B,C,D均正确.8.已知a>b>c,则√\(a-b\)\(b-c\)与a-c2的大小关系是.答案√\(a-b\)\(b-c\)≤a-c2解析 a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a-c2=\(a-b\)+\(b-c\)2≥√\(a-b\)\(b-c\).当且仅当b=a+c2时等号成立.9.已知不等式(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.解 (x+y)(1x+ay)=1+a+yx+axy,又x>0,y>0,a>0,∴yx+axy≥2√yx·axy=2√a,∴1+a+yx+axy≥1+a+2√a,当且仅当y=√ax时等号成立.∴要使(x+y)(1x+ay)≥9...
