1模块综合训练(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线√3x-y-2021=0的倾斜角等于()A.π6B.π3C.π4D.不存在解析直线√3x-y-2021=0化为y=√3x-2021,则直线的斜率为√3,所以直线的倾斜角等于π3.故选B.答案B2.(2020天津,7)设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为()A.x24−y24=1B.x2-y24=1C.x24-y2=1D.x2-y2=1解析 双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,y2=4x的焦点坐标为(1,0),l为yb+x1=1,即y=-bx+b,∴-b=-ba且-b·ba=-1,∴a=1,b=1.故选D.答案D3.若圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值等于()A.0B.2C.1D.±2解析圆x2+y2-ax-2y+1=0的标准方程为(x-a2)2+(y-1)2=a24,圆心坐标为(a2,1),圆x2+y2-4x+3=0的标准方程为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径为1,2连心线所在直线的斜率为1a2-2=2a-4,中点坐标为(a+44,12),由题意可得{a24=1,2a-4·1=-1,a+44-12-1=0,解得a=2.答案B4.如图,在棱长均相等的四面体O-ABC中,点D为AB的中点,CE=12ED,设⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,则⃗OE=()A.16a+16b+13cB.13a+13b+13cC.16a+16b-13cD.16a+16b+23c解析 CE=12ED,∴⃗CE=13⃗CD=13(⃗CA+⃗AD)=13(⃗CA+12⃗AB)=13⃗CA+16⃗AB,∴⃗OE=⃗OC+⃗CE=⃗OC+13⃗CA+16⃗AB=⃗OC+13(⃗OA-⃗OC)+16(⃗OB-⃗OA)=16⃗OA+16⃗OB+23⃗OC=16a+16b+23c.3答案D5.若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.√3C.√2D.2√33解析双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,圆心(2,0)到渐近线距离为d=√22-12=√3,则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为d=|2b+a×0|√a2+b2=2bc=√3,即4\(c2-a2\)c2=3,整理可得c2=4a2,双曲线的离心率e=√c2a2=√4=2.答案A6.如图,在几何体ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,AA1∥BB1∥CC1,AA1⊥平面ABC,若E是棱B1C1的中点,且AB=AA1=CC1=2BB1,则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为()A.√1313B.2√1313C.√2613D.2√2613解析以C为原点,在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=AA1=CC1=2BB1=2,则A1(√3,1,2),A(√3,1,0),C1(0,0,2),B1(0,2,1),E(0,1,32),⃗A1E=(-√3,0,-12),⃗AC1=(-√3,-1,2),设异面直线A1E与AC1所成角为θ,则cosθ=|⃗A1E·⃗AC1||⃗A1E||⃗AC1|=2√134·...
