13.4*复数的三角表示必备知识基础练1.将复数z=3[cos(-π2)+isin(-π2)]化成代数形式为;|z|=.答案-3i3解析z=3(0-i)=-3i,|z|=3.2.将复数z=-2√3+2i化成三角形式是.答案4(cos56π+isin56π)解析模长|z|=√\(-2√3\)2+22=4,设辐角为θ,tanθ=-√33,且点(-2√3,2)在第二象限,得θ=56π,故z=4(cos56π+isin56π).3.[2(cos60°+isin60°)]3=.答案-8解析原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos180°+isin180°)=-8.4.计算:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)].解4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)]=42[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)]=2[cos(-240°)+isin(-240°)]=2(-12+√32i)=-1+√3i.5.已知z1=12(cosπ3+isinπ3),z2=6cosπ6+isinπ6,计算z1z2,并说明其几何意义.解z1z2=12×6×cos(π3+π6)+isinπ3+π6=3(cosπ2+isinπ2)=3i.首先作复数z1对应的向量⃗OZ1,然后将⃗OZ1绕点O按逆时针方向旋转π6,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应向量.6.已知复数z=r(cosθ+isinθ),r≠0,求1z的三角形式.2解1z=\(cos0°+isin0°\)r\(cosθ+isinθ\)=1r[cos(0°-θ)+isin(0°-θ)]=1r[cos(-θ)+isin(-θ)].关键能力提升练7.(12-√32i)20÷(3i)=.答案-√36+16i解析原式=[cos(-π3)+isin(-π3)]20÷3cosπ2+isinπ2=cos(-20π3)+isin·(-20π3)÷3cosπ2+isinπ2=cos4π3+isin4π3÷3cosπ2+isinπ2=13cos4π3−π2+isin(4π3-π2)=13cos5π6+isin5π6=13(-√32+12i)=-√36+16i.8.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,解决以下问题:(1)试将复数eπ3i写成a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式;(2)试求复数eπ3i+12的模.解(1)根据欧拉公式可得eπ3i=cosπ3+isinπ3=12+√32i.(2)由题意可知eπ3i+12=12+√32i+12=1+√32i,因此,|eπ3i+12|=√12+(√32)2=√72.9.已知复数z的模为2,实部为√3,求复数z的代数形式和三角形式.解由题意,可设z=√3+bi(b∈R). |z|=2,∴√3+b2=2,解得b=±1,∴z=√3+i或z=√3-i.化为三角形式,得z=2cosπ6+isinπ6或z=2cos(-π6)+isin(-π6).10.计算下列各式的值:(1)(-12+√32i)·2cosπ3+isinπ3;(2)3(cos63°+isin63°)...
