1高考原生态满分练6解析几何[典例](本题满分12分)如图,动点M与两定点A(-1,0),B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=-2x+m与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求|PR||PQ|的取值范围.学生解答教师批阅分析1:求|PR||PQ|的范围难以入手,需转化为点的横坐标之比.分析2:(1)∠MBA=2∠MAB与tan∠MBA=2tan∠MAB1-tan2∠MAB不等价.当∠MBA=90°时,单独考虑;(2)tan∠MBA=2tan∠MAB1-tan2∠MAB与kMB=2kMA1-kMA2不等价,易漏点M在x轴下方的情况;(3)轨迹C是去掉右顶点(1,0)的双曲线右支,易使x的范围增大;(4)解直线与曲线方程的方程组时,易漏掉Δ>0的条件.分析3:本题也可用设而不求法:因|PR||PQ|=x2x1,故设t=x2x1,t+1t=x2x1+x1x2=\(x1+x2\)2-2x1x2x1x2,代入根与系数的关系得函数f(m),求出f(m)的范围,再求t的范围.2满分答题高考原生态满分练6解析几何解(1)设M的坐标为(x,y),显然有x>0,且y≠0.当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3).当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,得tan∠MBA=2tan∠MAB1-tan2∠MAB.2分即-|y|x-2=2|y|x+11-(|y|x+1)2,化简可得,3x2-y2-3=0.而点(2,±3)在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1).4分(2)由{y=-2x+m,3x2-y2-3=0,消去y可得x2-4mx+m2+3=0.(*)6分由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内.设f(x)=x2-4mx+m2+3,所以{--4m2>1,f\(1\)=12-4m+m2+3>0,Δ=\(-4m\)2-4\(m2+3\)>0,解得m>1,且m≠2.8分设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),由|PQ|<|PR|有xR=2m+√3\(m2-1\),xQ=2m-√3\(m2-1\).所以|PR||PQ|=xRxQ=2m+√3\(m2-1\)2m-√3\(m2-1\)=2+√3(1-1m2)2-√3(1-1m2)=-1+42-√3(1-1m2).10分由m>1,且m≠2,有1<-1+42-√3(1-1m2)<7+4√3,且-1+42-√3(1-1m2)≠7.所以|PR||PQ|的取值范围是(1,7)∪(7,7+4√3).12分3
