11.1.2空间向量的数量积运算课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)下列各命题中,正确的有()A.√a·a=|a|B.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R)C.a·(b+c)=(b+c)·aD.a2b=b2a解析 a·a=|a|2,故√a·a=|a|,A正确;m(λa)·b=(mλa)·b=mλa·b=(mλ)a·b,故B正确;a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,故C正确;a2b=|a|2b,b2a=|b|2a,|a|2b与|b|2a不一定是相等向量,故D不正确.答案ABC2.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.答案B3.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=()A.1B.2C.3D.4解析由条件知p·q=0,p2=q2=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.答案A4.已知|a|=1,|b|=√2,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为()A.30°B.45°C.135°D.60°解析 a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,∴a·a-a·b=|a|2-|a||b|cos
=1-1×√2×cos=0,∴cos=√22. 0°≤≤180°,∴=45°.答案B5.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(⃗DB+⃗DC-2⃗DA)·(⃗AB−⃗AC)=0,则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析因为⃗DB+⃗DC-2⃗DA=(⃗DB−⃗DA)+(⃗DC−⃗DA)=⃗AB+⃗AC,2所以(⃗DB+⃗DC-2⃗DA)·(⃗AB−⃗AC)=(⃗AB+⃗AC)·(⃗AB−⃗AC)=⃗AB2−⃗AC2=0,所以|⃗AB|=|⃗AC|,因此△ABC是等腰三角形.答案B6.(多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是()A.⃗PC与⃗ADB.⃗DA与⃗PBC.⃗PD与⃗ABD.⃗PA与⃗CD解析因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故⃗PA·⃗CD=0;因为AD⊥AB,AD⊥PA,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,故AD⊥PB,则⃗DA·⃗PB=0;同理可得⃗PD·⃗AB=0;而PC与AD所成角为∠PCB,显然不垂直.答案BCD7.已知空间向量a,b,c中每两个的夹角都是π3,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=.解析 |a|=4,|b|=6,|c|=2,且===π3,∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos+2|a||c|cos+2|b||c|cos=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴|a+b+c|=10.答案108.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.解因为⃗PC=⃗PA+⃗AD+⃗DC,所以|⃗PC|2=(⃗PA+⃗AD+⃗DC)2=|⃗PA|2+|⃗AD|2+|⃗DC|2+2⃗PA·⃗AD+2⃗PA·⃗DC+2⃗AD·⃗DC=62+42+32...
