1第一章预备知识§2常用逻辑用语2.1必要条件与充分条件第2课时习题课充分条件与必要条件的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当“a=2”时,显然“A∩B={4}”;但当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.答案A2.若p:x-1≤1,q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.(-2,+∞)D.(-∞,-2)解析由题知,p:x-1≤1,解得x≤2.设A={x|x≤2},B={x|x≤a},因为p是q的充分不必要条件,所以A是B的真子集.则a>2.故选A.答案A3.已知集合A={x|a-2
3,解得m>2,即实数m的取值范围是(2,+∞).答案(2,+∞)5.在△ABC中,判断“∠B=∠C”是否是“AC=AB”的充要条件.解因为“在三角形中,等角对等边”,2所以∠B=∠C⇒AC=AB;又因为“在三角形中,等边对等角”,所以AC=AB⇒∠B=∠C.从而∠B=∠C⇔AC=AB,因此△ABC中,“∠B=∠C”是“AC=AB”的充要条件.6.求证:“关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.证明(充分性)因为ac<0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0.故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,则x1x2=ca<0,所以方程的两根异号.即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.(必要性)一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x2=ca<0,即ac<0.综上可知,“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.7.设p:x>a,q:x>3.(1)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围;(3)若a是方程x2-6x+9=0的根,判断p是q的什么条件.解设A={x|x>a},B={x|x>3}.(1)若p是q的必要不充分条件,则有B⫋A,所以a的取值范围为{a|a<3}.(2)若p是q的充分不必要条件,则有A⫋B,所以a的取值范围为{a|a>3}.(3)因为方程x2-6x+9=0的根为3,则有A=B,所以p是q的充要条件.关键能力提升练8.已知p:|x|0),q:-1
