学习方法报社全新课标理念，优质课程资源直角三角形的判定精彩展示山东苗伟节目1判定三角形的形状例1在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足c+a=2b，c-a=b，则△ABC的形状是____________.分析：由已知条件，得c2=b2+a2，根据勾股定理逆定理，得△ABC是直角三角形．解：因为c+a=2b，c-a=b，所以（c+a）（c-a）=2b×b，整理，得c2-a2=b2，即c2=b2+a2.所以△ABC是直角三角形.节目2求图形的面积例2如图1，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB=15，AD=12，AC=13，BD=9，求△ABC的面积．分析：先由勾股定理的逆定理得到△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出线段DC，最后利用三角形面积公式计算即可．解：因为AD2+BD2=122+92=225，AB2=152=225，所以AB2=AD2+BD2．所以△ABD是直角三角形，即△ADC也是直角三角形．在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD2=AC2−AD2=132−122=25，所以CD=5．所以BC=BD+CD=14．所以S△ABC=BC•AD=×14×12=84.节目3判断说理例3如图2，在正方形ABCD中，边长为4a，F为DC的中点，E为BC上的点，且CE=BC，问：AF与EF垂直吗？并说明理由．分析：连接AE，由已知条件，运用勾股定理分别求出△AEF的三边长，再利用勾股定理的逆定理判定△AEF是直角三角形即可证明.解：AF与EF垂直．理由：连接AE.由勾股定理，得AF2=（4a）2+（2a）2=20a2，EF2=（2a）2+a2=5a2，AE2=（4a）2+（3a）2=25a2．因为AF2+EF2=AE2，所以△AFE是直角三角形，即AF⊥EF．节目4求角度例4如图3，在长方形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别在边BC，DC上，若DF=BE=1，则∠EAF的度数是_____________.分析：由题意得到BE，CF，EC的长度，根据勾股定理即可求出AE，EF，AF，最后利用勾股定理的逆定理推出△AEF为等腰直角三角形，得∠EAF=45°.解：由题意，知CD=AB=2，BC=AD=3.因为DF=BE=1，所以EC=2，CF=1.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2=AB2+BE2=5.在Rt△CEF中，由勾股定理，得EF2=CF2+CE2=5.在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=10.所以AE=EF，且AE2+EF2=AF2.所以△AEF为等腰直角三角形.所以∠EAF=45°．第1页共1页图2图3图1
