1第一章预备知识§3不等式3.2基本不等式第1课时基本不等式课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为()A.1B.√2C.2D.4解析 ab=a+b≥2√ab,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时等号成立,故ab的最小值为4.答案D2.已知00.∴x(1-x)≤(x+1-x2)2=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立.答案B3.已知a,b是不相等的正数,x=√a+√b√2,y=√a+b,则x,y的关系是()A.x>yB.x√2yD.y<√2x解析x2=a+b+2√ab2<2\(a+b\)2=a+b,y2=a+b,所以x20,y>0,且x≠y,∴x1,b>1,且ab-(a+b)=1,那么下列结论正确的有()A.a+b有最大值2√2+2B.a+b有最小值2√2+2C.ab有最大值√2+1D.ab有最小值2√2+3解析令a+b=s,ab=t,由题意可得s>2,t>1,t-s=1,由均值不等式得s≥2√t,则t-1≥2√t,由t>1可得t2-2t+1≥4t,则t≥3+2√2,当且仅当a=b=√2+1时,等号成立;s≥2√s+1,由s>2可得s2-4s-4≥0,则s≥2+2√2,当且仅当a=b=√2+1时,等号成立.故选BD.答案BD25.已知a>0,b>0,且a+2b=8,则ab的最大值等于.解析a>0,b>0且a+2b=8,则ab=12a·2b≤12a+2b22=12×16=8,当且仅当a=2b=4时等号成立,则ab的最大值为8.答案86.已知4x+ax(x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a=.解析由基本不等式,得4x+ax≥2√4x·ax=4√a,当且仅当4x=ax,即x=√a2时,等号成立,即√a2=3,即a=36.答案367.(2021广东广州第二中学高一期末)已知x<3,则函数f(x)=4x-3+x的最大值是.解析因为x<3,所以f(x)=3-(3-x)+43-x≤3-2√\(3-x\)×43-x=3-4=-1.当且仅当3-x=43-x,即x=1时,等号成立.故函数f(x)的最大值是-1.答案-18.对于直角三角形的研究,中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四弦五”勾股定理的特例,而西方直到公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这个直角三角形面积的最大值等于.解析设直角三角形的斜边长为c,直角边长分别为a,b,由题意知c=5,则a2+b2=25,则三角形的面积S=12ab, 25=a2+b2≥2ab,∴ab≤252,则三角形的面积S=12ab≤12×252=254,即这个直角三角形面积的最大值等于254.答案2549.已知a>0,b>0,求证:a+b+1≥√ab+√a+√b.证明a+b≥2√ab,a+1≥2√a,b+1≥2√b,当且仅当a=b=1时,等号成立.上面三式相加,得2(a+b+1)≥2√ab+2√a+2√b,所以a+b+1≥√ab+√a+√b.10.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9.证明因为a>0,b>0,c>...
