1第三章空间向量与立体几何§4向量在立体几何中的应用4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时空间中的角课后篇巩固提升合格考达标练1.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成二面角的平面角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°答案D解析因为n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成二面角的平面角等于90°.2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.5√2266B.-5√2266C.5√2222D.-5√2222答案A解析⃗AB=(2,-2,-1),⃗CD=(-2,-3,-3),而cos⃗AB,⃗CD=⃗AB·⃗CD|⃗AB||⃗CD|=53×√22=5√2266,故直线AB和CD所成角的余弦值为5√2266.3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°2答案A解析取AB的中点D,连接CD,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故⃗AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,√3,3),故⃗AB1=(-2,0,3),⃗AC1=(-1,√3,3),设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,c),AA1与平面A1B1C1所成角为θ,根据m·⃗AB1=0,m·⃗AC1=0,可得m=(3,-√3,2),cos=m·⃗AA1|m||⃗AA1|=12.sinθ=|cos|=12.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°,故选A.4.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案B解析如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴⃗AD=(0,1,0).取PD的中点E,则E(0,12,12),∴⃗AE=(0,12,12),易知⃗AD是平面PAB的一个法向量,⃗AE是平面PCD的一个法向量,所以cos<⃗AD,⃗AE>=√22,故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为45°.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AD,C1D1的中点,O为侧面BCC1B1的中心,则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为()3A.16B.14C.-16D.-14答案A解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D1(0,0,2),∴⃗MN=(-1,1,2),⃗OD1=(-1,-2,1).则cos<⃗MN,⃗OD1>=⃗MN·⃗OD1|⃗MN||⃗OD1|=1√6×√6=16.∴异面直线MN与OD1所成角的余弦值为16,故选A.6.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为.答案49解析在长...
