平行投影【教学目标】了解平行投影的含义和基本性质；正投影变换的性质。【教学重难点】重点：平行投影基本定理和性质。难点：平行投影定理和正投影变换性质的证明。【教学过程】新课讲授师：什么是平行投影呢？生：设空间有一个点集M，一个平面a和一条不平行于平面a的直线s，经过M中每一点X，作平行于s或与s重合的直线交平面a于点Y，这样就确定了一个由M到a的映射Y=s（x），称此映射为由s确定的点集M到平面a的平行投影。师：那平行投影的定理是什么呢？生：不平行于投影线的线段，在平面上的投影仍为线段，线段上的点分线段的比保持不变，端点仍为端点。师：很好。那我们一起看看课本上是如何证明这个定理的。师：平面p到平面a的一对一的映射，称为平面p到平面a的平行投影变换。师：平行投影变换的基本性质有哪些呢？1．线段的投影仍为线段；2．线段中心的投影为投影的中点；3．平行四边形的投影仍为平行四边形；4．平行线段的投影仍为平行线段；5．平行或共线线段的比等于线段投影的比；6．若原平面和像平面平行，则线段和它的投影长度相等；7．若两平面相交，则平行于基线的线段和它的投影长度相等。8．两个多边形的面积比，等于其投影的面积比。师：看看下面的例子，思考什么是正投影呢？1．点在直线上的正射影2．直线在直线上的正射影A‘ANM师：大家再思考下，点、直线在平面上的正射影是什么呢？生：给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′称为点A在平面α上的正射影。那么，一条直线在平面上的正射影是什么样的图形呢？师（总结）：一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影。思考：一个圆所在的平面α与平面β平行时，该圆在平面β上的正射影是什么图形？当平面α与平面β不平行时，圆在平面β上的正射影是什么图形？如果平面α与平面β垂直时，圆在平面β上的正射影又是什么图形？BB′A′AA′ABABAMN显然，正射影是平行射影的特例。思考：两条相交直线的平行射影是否还是相交直线？两条平行直线的平行射影是否还是平行直线？将一个放在桌面上的玻璃杯中倒入半杯水，观察水平面所成的图形；如果将玻璃杯倾斜一定的角度，此时水平面又是一个什么样的图形？可以看出水平面是一个椭圆。师：正投影变换的性质是什么呢？生：若正投影变换的原平面和像平面相交，则垂直于基线的直线的像仍垂直于基线。师：那我们再一起看看课本上是如何证明这个性质的。课堂小结：回顾本课学习了哪些知识？
