三角函数与相似同台竞技.doc

学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源 三角函数与相似同台竞技 广西 苟明礼 锐角三角函数与相似三角形两者关系密切，常常综合考查．解题时，一方面要注意锐角三角函数向线段比的转化，另一方面也要注意与相似三角形知识的综合应用． 例1 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，sin C=，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于点M，分别以点B，M为圆心，大于BM的长为半径作弧，两弧相交于点N，射线AN与BC相交于点D，则AD的长为 ． 图1 解析：如图1，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 由题中作法，知AN是∠BAC的平分线，且∠BAC=90°，所以四边形AEDF是正方形．所以AE=DE=AF=DF，∠BAD=45°． 在Rt△ABC中，sin C=，所以BC==6÷=10． 所以AC===8． 设AE=DE=AF=DF=x，则BE=6-x，CF=8-x． 因为DF∥AB，DE∥AC，所以∠B=∠FDC，∠BDE=∠C．所以△BDE∽△DCF．所以=，即=．解得x=．所以AE=． 在Rt△ADE中，∠BAD=45°，cos ∠BAD=，所以AD==． 例2 如图2，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来．已知CM=3 m，CO=5 m，DO=3 m，∠AOD=70°，汽车从A处前行多长路程才能发现C处的儿童？（结果保留整数；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75） 图2 解析：在Rt△OCM中，CM=3，OC=5，所以OM==4． 因为∠CMO=∠BDO=90°，∠COM=∠BOD，所以△COM∽△BOD． 所以，即．解得BD=2.25． 在Rt△AOD中，∠AOD=70°，DO=3，tan ∠AOD=，所以AD=DO·tan 70°≈8.25． 所以AB=AD-BD=6（m）． 答：汽车从A处前行约6 m才能发现C处的儿童． 2