6.4 二次型的正定性.pptVIP免费

1第六章二次型§6.4二次型的正定性§6.4二次型的正定性一、惯性定理与惯性指数二、正定二次型三、负定(半正定、半负定)二次型*2第六章二次型§6.4二次型的正定性一、惯性定理与惯性指数1.惯性定理对于一个给定的实二次型定理,)(XAXXfT则其中正、负项的项数是惟一确定的，,221221qpppzzzzQZY22112211qpqpppppydydydyd)0(idPYX)(Xf经过非退化线性变换化为标准形(或规范形)，即它们的和等于矩阵A的秩。(略)证明P186定理6.83第六章二次型§6.4二次型的正定性一、惯性定理与惯性指数1.惯性定理称为该二次型的正惯性指数；2.惯性指数定义实二次型的标准形中正平方项的项数XAXXfT)(p负平方项的项数称为该q二次型的负惯性指数；它们的差称为该二次型的qp符号差。正、负惯性指数统称为惯性指数。P186定义6.74第六章二次型§6.4二次型的正定性答D与A相似。（特征值相同且可相似对角化）矩阵A的特征值为：1,2,1矩阵B的特征值为：2/)53(,2/)53(,3矩阵C的特征值为：2,1,1矩阵D的特征值为：1,2,1B,C,D与A等价；（秩相同）C,D与A合同；（惯性指数相同）,100020001A,300021011B,100010002C,200001010D问B,C,D中哪些与A等价、合同、相似？例5第六章二次型§6.4二次型的正定性1.正定二次型与正定矩阵则称f(X)为正定二次型，注(1)A为正定矩阵隐含A为对称矩阵；二、正定二次型设n元实二次型,)(XAXXfT定义如果对空间中任意nR,0X的都有,0)(Xf称二次型矩阵A为正定矩阵.(2)A为正定矩阵有时记为A>0.P186定义6.86第六章二次型§6.4二次型的正定性;),,()2(2221321xxxxxf;2),,()3(232221321xxxxxxf.2),,()4(232221321xxxxxxf;2),,()1(232221321xxxxxxf(是)(不是)(不是)(不是)一般说来，由于且X与Z一一对应，故f(X)的正定性取决于g(Z)正定性。判断下列二次型是否为正定二次型？例XAXXfT)(PZX221221qpppzzzz)(Zg记为7第六章二次型§6.4二次型的正定性2.二次型正定的充要条件;)0(,0)1(XXAXT(2)正惯性指数为n；(3)A的特征值全部大于零；(4)A与I合同；二、正定二次型n元实二次型正定(或n阶实对称阵A定理1XAXXfT)(正定)的充要条件是下列条件之一：证明题用条件(1),(3),(4)；判断题用条件(3).注(略)证明本身的定义P168定理6.11P168定理6.12P168定理6.138第六章二次型§...