六年级春季班第17讲：角-学生版-张于.docx

六年级同步 角 内容分析 角是初中数学六年级下学期第3章第2节的内容．同学们要理解角、余角和补角的概念，掌握角的表示方法、角的大小的比较的方法，理解两个角的和、差、倍的意义，会用量角器画角，并学会用尺规作角及角的和、差，理解角的平分线的意义，并会用尺规作已知角的平分线，还要掌握角度的单位换算及相关运算． 知识结构 模块一：角的概念与表示 知识精讲 1、 角的概念 角是具有公共端点的两条射线组成的图形．如下左图所示，公共端点叫做角的顶点，两条 射线叫做角的边． 始边 终边 顶点 边 边 我们还可以这样理解角： 角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形． 如上右图所示，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边． 角的始边转动到角的终边所经过的平面部分，叫做角的内部，简称角内．通常角的内部用不 带箭头或带箭头的弧线表示，如下图所示．其中，中图，右图中的阴影部分是角的外部，简 称角外． 内部 内部 外部 外部 2、 角的表示 （1）大写英文字母： B A C D O 角一般用三个大写英文字母表示，如下左图所示，记作．其中表示顶点的字母O必 须放在三个字母中间． A B O 如果以点O为顶点的角只有一个，那么这个角可以用表示顶点的字母表示．上左图中， 可以记作．如果以点O为顶点的角有多个（如上右图所示），那么其中任何一个角都必 须用三个大写英文字母表示，而不能记作． （2）小写希腊字母： 有时为了方便，在角的内部标上一个小写的希腊字母，如，，等；在上右图中，、 、可以分别记作、、（或、、）． B A C D O 1 2 3 （3）数字： 有时为了方便，也可以在角的内部标上一个数字，如1，2，3 等；如右图所示，、、可以分别记作、 、． 3、 方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°． 北 北偏东30° 南偏西45° 北偏西70° 南偏东50° 30° 70° 45° 50° 例题解析 【例1】 如图，分别用三种形式表示图中的角． A B C O N M O A B 1 2 【难度】★ 【答案】 【解析】 O 北 A B 32° 63° 【例2】 写出图中射线OA、OB表示的方向． （1）OA表示的方向是____偏_____ ____°； （2）OB表示的方向是____偏_____ ____°． 【难度】★ 【答案】 【解析】 A B C D 【例3】 如图，点D在AB上． （1）图中共有几个角（小于平角的角）？ （2）写出图中能用一个大写字母表示的角． （3）写出图中只能用三个大写字母表示的角（小于平角的角）． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例4】 在的内部引1条射线，一共有几个角？引2条射线呢？引3条射线呢？引4 条射线呢？引n条射线内？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 模块二：角的大小的比较 画相等的角 知识精讲 1、 角的大小的比较 （1）度量法：用量角器量出角的度数，然后比较大小． （2）叠合法：移动一个角，使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边叠合，两个角的另一条边都落叠合的边的同侧，再观察“两个角的另一条边” 的位置情况． 如图，已知，如果移动，使顶点O和顶点E、边ED与边OA叠合，边EF与边OB在它们的同侧．这时EF对于而言，有几种可能的位置关系？请完成下列表格： 图形 EF对于的位置 符号表示 情况一 A（D） B O（E） F 边EF在的内部 （或） 情况二 情况三 2、 锐角、直角、钝角、平角、周角 0°< 锐角 < 90°， 直角 = 90°， 90°< 钝角 <180°， 平角 = 180°， 周角 = 360°． 例题解析 【例5】 根据图形填空： （1）比较角的大小： 因为OB和OB是公共边，边______在的内部，所以____； 因为OA和OA是______，边OC在的内部，所以____． （2）确定角的边的位置： 因为OC和OC是公共边，，所以边OA在的______； 因为边OM与边______叠合，，所以边ON与边__________ A B C D O N M 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例6】 下列说法中正确的是（ ） A．锐角都相等 B．直角都相等 C．钝角都相等 D．角的大小与角的边长的长短有关 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例7】 判断题： （1）大于90°的角是钝角．（ ） （2）钝角一定大于它的补角．（ ） （3）直线MN是平角．（ ） （4）角的边越长，角的度数越大．（ ） （5）大于直角的角是钝角．（ ） 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例8】 如图，已知，用量角器画，使得． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例9】 如图，已知，用直尺、圆规作出，使得． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例10】 如图，已知、，用尺规作图法比较它们的大小． 1 2 【难度】★★ 【答案】 【解析】 模块三：画角的和、差、倍 知识精讲 A B C O 1、 角的和差 如图，共有、、共3个角，它们有如下等量关系： ， ， ． 概括：两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和（或差）． 2、 角的平分线 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 例题解析 【例11】 用一副三角尺可以直接画出30°、45°、60°、90°的角，试利用角的和、差意 义，画出15°、75°、105°、135°和150°的角． 【难度】★ 【答案】 【解析】 1 2 【例12】 如图，已知、，用量角器画一个角，使它等于． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例13】 如图，根据图形填空： （1）____________=______=______； A B C D O （2）______=______． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例14】 已知射线OD平分，，______． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例15】 已知，，则______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D O 【例16】 如图，已知，，______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例17】 已知，，求、、的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例18】 两个角的度数之比为3 : 5，且两角之差为40°，求这两个角的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 1 2 【例19】 尺规作图：如图，已知和，求作． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 A B O 【例20】 尺规作图：如图，已知，求作的平分线OC． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 A B C D O O 【例21】 尺规作图：已知、，求作：． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 1 2 3 4 【例22】 如图，，，求图中所有的角的度数的和． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 模块四：余角、补角 知识精讲 1、 余角 如果两个角的度数的和是90°，那么这两个角叫做互为余角，简称互余．其中一个角称为另一个角的余角． 2、 补角 如果两个角的度数的和是180°，那么这两个角叫做互为补角，简称互补．其中一个角称为另一个角的补角． 3、 角的度量 度量单位：度（记作：“”），分（记作：“”），秒（记作：“”）． 角的度量单位度、分、秒的关系：，． 4、 同角（或等角）的余角相等． 同角（或等角）的补角相等． 例题解析 【例23】 已知，则的余角=______，补角=______； 已知，则的余角=______，补角=______． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例24】 下列说法正确的是（ ） A．180°的角是补角 B．110°和90°的角互为补角 C．10°、20°、60°的角互为余角 D．若，则、互为余角 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例25】 如图，，若，则______． A B C D O 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例26】 （1）35°的余角的补角是_____°； （2）若一个角的余角是x°，那么这个角的补角是______°． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例27】 一个角的余角与它的补角互补，则这个角的2倍一定是（ ） A．锐角 B．钝角 C．直角 D．平角 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例28】 单位换算：______°；______°____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例29】 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例30】 一个角的补角比这个角的余角的3倍大14°，求这个角的度数？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例31】 已知x、y是正整数，的度数等于，的度数等于，且与 互为补角，则x、y的和是多少？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例32】 已知，与互余． （1）若OP是的平分线，计算的度数； （2）若与互补，OE平分，画出所有符合条件的图形，并直接写 出的度数． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 随堂检测 A B C O 【习题1】 图中有几个角？怎么表示． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题2】 下列说法一定正确的是（ ） A．角是由两条射线组成的图形 B．用放大镜看一个角，角的度数变大了 C．三条共顶点的射线组成两个角 D．平角大于钝角 【难度】★ 【答案】 【解析】 A B C D O 【习题3】 如图，在横线上填上适当的角． ______； ______； _____________． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题4】 （1），，则______； （2），，则______； （3），则______； （4），则______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题5】 钟面上从3点50分到4点30分，时针转了______°． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题6】 射线OA位于南偏东20°方向，射线OB位于北偏东25°方向，的度数为 ______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题7】 已知的余角为，则的补角=______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题8】 一个角的补角与它的余角的和是平角的，求这个角的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题9】 已知，自点O在内部引射线OC，OD、OE分别是、 的平分线，求的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题10】 如图，已知A、O、B三点共线，，OD、OE分别平分、 ． （1）图中相等的角有______对，分别是________________________； （2）图中互余的角有______对，分别是________________________； （3）图中互补的角有______对，分别是________________________； A B C D E O 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 A B C D E O 【习题11】 如图，已知，，请问图中不大于90°的角有几个？它 们的和是多少？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【习题12】 在内部引10条射线，则一共多少个角？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 课后作业 【作业1】 判断： （1）由两条射线组成的图形叫做角．（ ） （2）所有的角都可以用一个大写英文字母表示．（ ） （3）若，则OC平分．（ ） （4）钝角没有余角．（ ） （5）一个角的余角是锐角．（ ） 【难度】★ 【答案】 【解析】 【作业2】 一副三角尺不能画出的角度是（ ） A．15° B．75° C．85° D．105° 【难度】★ 【答案】 【解析】 【作业3】 点A在点B的北偏东70°方向，则点B在点A的______方向． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业4】 若，，则______（填“>”，“=”，“<”）． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业5】 已知比大24°，，______°． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业6】 填空： （1）已知，则的余角为______，的补角为______； （2）一个角的补角比这个角的余角大______； （3）______；（结果用度表示） （4）______．（结果用度、分、秒表示） 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E O 【作业7】 如图，的余角是______；的补角是______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业8】 9点15分的时候，分针与时针的夹角为______°． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业9】 一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【作业10】 图中一共多少个角？将它们一一表示出来． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【作业11】 已知，，求的度数． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 2 A B O 1 3 4 【作业12】 如图，已知，． （1）若所有的角的角度和为630°，求的度数； （2）若所有的角的角度和为n°，求的度数； 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 19 / 20