4初等函数的幂级数展开第课课题初等函数的幂级数展开课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）理解泰勒级数（含麦克劳林级数）的概念（2）掌握函数的幂级数展开方法，如直接展开法和间接展开法（3）熟悉几个常见函数的幂级数展开式，并利用这些展开式将一般函数展开成幂级数思政育人目标：通过讲解初等函数的幂级数展开的相关知识，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：泰勒级数（含麦克劳林级数）的概念教学难点：函数的幂级数展开方法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2min）→知识讲解（23min）→课堂测验（20min）第2节课：知识讲解（20min）→问题讨论（10min）→课堂测验（10min）→课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（23min）【教师】通过两个问题，引出泰勒级数（含麦克劳林级数）的概念问题1：函数在什么条件下可以表示成幂级数，即（8-4）学习泰勒级数（含麦克劳林级数）的概念。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第课初等函数的幂级数展开42问题2：如果能表示成式（8-4）的幂级数，那么系数怎样确定？下面我们就来讨论这两个问题．我们先来讨论问题2．假定在的某邻域内能表示成式（8-4），我们来看看系数与应有怎样的关系．由于可以表示成幂级数，根据幂级数的性质，在的邻域内任意阶可导．对式（8-4）两端逐次求导得．在幂级数式及其各阶导数中，令分别得，则该幂级数为，（8-5）展开式为．（8-6）初等函数的幂级数展开第课43级数（8-5）称为函数在处的泰勒级数．展开式（8-6）称为函数在处的泰勒展开式．其中，当时，泰勒级数表示为，该级数称为函数的麦克劳林级数．实际上，只要在处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数，但此泰勒级数是否收敛于，即式（8-6）何时成立呢？下面的定理将会解答．定理1设函数在的邻域内具有各阶导数，则在处的泰勒级数收敛于或者在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是余项满足，其中为拉格朗日余项，即【学生】理解泰勒级数（含麦克劳林级数）的概念课堂测验（20min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的...
