宁波大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题(B卷)(答案必须写在答题纸上)考试科目:高等代数科目代码：871适用专业:基础数学、应用数学第1页共2页一、(10分)设1p是素数,用多项式理论证明p是无理数.二、(10分)计算行列式2464273271014543443342721621的值.三、(15分)设123,,线性元关,证明:122331,,也线性无关.四、(15分)取何值时，线性方程组12312312322124551xxxxxxxxx无解,有唯一解,或有无穷多解?在有无穷多解时,求方程组的通解.五、(10分)设1(2,1,2,2,4),2(1,1,1,0,2),3(0,1,2,1,1),4(1,1,1,1,1),5(1,2,1,1,1),试确定向量组12345,,,,的秩和一个极大线性无关组.并用这个极大无关组表示其它(不在极大无关组的)向量.六、(15分)求矩阵2100320057181316A的逆矩阵.七、(10分)用非退化线性替换化二次型22211222332244fxxxxxxx为标准型(写出线性替换).八、(5分)证明:如果A是正定矩阵，那么1A也是正定矩阵.宁波大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题(B卷)(答案必须写在答题纸上)考试科目:高等代数科目代码：871适用专业:基础数学、应用数学第2页共2页九、(15分)设V为复数域上的线性空间,已知线性变换在一组基123,,下的矩阵为001010.100A1)求的特征值与特征向量;2)是否可在适当的基下的矩阵为对角阵?若可以,写出相应的基变换的过渡矩阵T;3)求A1000.十、(10分)设[]nPx表示数域P上次数小于n的多项式及零多项式作成的线性空间．（1）证明：211,,(),,()nxaxaxa是[]nPx的一组基；（2）求上述的一组基到基211,,,,nxxx的过渡矩阵．十一、(15分)设矩阵126103,114A求A的特征多项式、行列式因子、不变因子、初等因子及若当标准形．十二、(10分)设A,B都是实对称矩阵．证明：存在正交矩阵T,使1TAT=B的充分必要条件是A,B的特征多项式的根全部相同.十三、(10分)设A是一个固定的n级矩阵，证明：（1）,nnWXAXXAXP是nnP的一个子空间；（2）当A为主对角元两两互异的对角矩阵时，写出W的维数及一组基．
