１０７第五章多元函数微分学１．多元函数微分学的基本概念２．偏导数与全微分的计算３．多元函数微分学的几何应用４．极值、最值问题第一节多元函数微分学的基本概念１．二重极限：设二元函数ｆ（Ｐ）＝ｆ（ｘ，ｙ）的定义域为Ｄ，Ｐ０（ｘ０，ｙ０）是Ｄ的聚点．若存在常数Ａ，对于任意的ε＞０，总存在δ＞０，使得当点Ｐ（ｘ，ｙ）∈Ｄ∩Ｕ。（Ｐ０，δ）时，都有ｆ（Ｐ）－Ａ＝ｆ（ｘ，ｙ）－Ａ＜ε成立，则称常数Ａ为函数ｆ（ｘ，ｙ）当（ｘ，ｙ）→（ｘ０，ｙ０）时的极限，记作ｌｉｍ（ｘ，ｙ）→（ｘ０，ｙ０）ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａ或ｆ（ｘ，ｙ）→Ａ（（ｘ，ｙ）→（ｘ０，ｙ０））．有些参考书上也会写成ｌｉｍｘ→ｘ０ｙ→ｙ０ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａ．二元函数的极限叫做二重极限．二重极限ｌｉｍ（ｘ，ｙ）→（ｘ０，ｙ０）ｆ（ｘ，ｙ）存在，是指点（ｘ，ｙ）以任何方式趋于点（ｘ０，ｙ０）时，ｆ（ｘ，ｙ）都无限接近于常数Ａ．１０８２．可微的判定条件必要条件：若函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在点（ｘ，ｙ）处可微分，则该函数在点（ｘ，ｙ）处的偏导数∂ｚ∂ｘ与∂ｚ∂ｙ必定存在，且函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在点（ｘ，ｙ）处的全微分为ｄｚ＝∂ｚ∂ｘΔｘ＋∂ｚ∂ｙΔｙ．充分条件：若函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）的偏导数∂ｚ∂ｘ，∂ｚ∂ｙ在点（ｘ，ｙ）处连续，则函数在该点处可微分．３．连续性、可偏导性与可微性之间的关系１．如何判断二重极限不存在以原点处为例：（１）沿径向路径的极限与斜率有关，即沿ｙ＝ｋｘ趋于原点时，极限值与ｋ有关，不同的ｋ值可能对应不同的极限值．（２）沿某条特殊路径的极限不存在，这里的特殊路径并不限于径向路径，也可能是某条曲线路径．（３）沿某两条不同特殊路径的极限均存在但不相等．１０９２．如何判断二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在点（ｘ０，ｙ０）处是否可微①求ｆ（ｘ０，ｙ０）．②求函数ｆ（ｘ，ｙ）在点（ｘ０，ｙ０）处的偏导数ｆ′ｘ，ｆ′ｙ．③若ｆ′ｘ或ｆ′ｙ不存在，则函数ｆ（ｘ，ｙ）不可微．若ｆ′ｘ，ｆ′ｙ均存在，则考察极限ｌｉｍ（ｘ，ｙ）→（ｘ０，ｙ０）ｆ（ｘ，ｙ）－ｆ（ｘ０，ｙ０）－ｆ′ｘ（ｘ０，ｙ０）（ｘ－ｘ０）－ｆ′ｙ（ｘ０，ｙ０）（ｙ－ｙ０）...
