２５０第三章向量１．向量组的线性相关与线性无关２．向量组的秩３．向量组之间的线性表示第一节向量组的线性相关与线性无关向量组线性相关的定义：给定向量组Ａ：α１，α２，…，αｍ．若存在不全为零的数ｋ１，ｋ２，…，ｋｍ，使得ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０，则称向量组Ａ是线性相关的，否则称它是线性无关的．向量组Ａ：α１，α２，…，αｍ线性相关的充分必要条件为向量组Ａ的秩小于ｍ，即它构成的矩阵Ａ＝（α１，α２，…，αｍ）的秩ｒ（Ａ）小于向量个数ｍ；向量组Ａ线性无关的充分必要条件是ｒ（Ａ）＝ｍ，即齐次线性方程组Ａｘ＝０仅有零解．特别地，若Ａ为ｍ个ｎ（ｍ＞ｎ）维向量组成的向量组，则Ａ必线性相关．２５１证明向量组线性无关或相关的方法（１）定义法．根据向量组线性无关或线性相关的定义，列出ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０，并讨论系数ｋｉ（ｉ＝１，２，…，ｍ）是否为零．证无关，则需论证ｋｉ均为零；证相关，则需论证存在ｉ，ｋｉ≠０．（２）讨论秩．若向量组的秩等于向量个数，则向量组线性无关；若向量组的秩小于向量个数，则向量组线性相关．（３）讨论行列式．若向量组所构成的矩阵为方阵，则可以通过行列式是否为零来讨论向量组的线性无关或相关性．证无关，则需论证行列式不为零；证相关，则需论证行列式为零．下面为一些关于向量组线性无关与线性相关的常用结论：•向量组线性相关的充分必要条件为该向量组至少存在一个向量可以用向量组中的其余向量线性表示；向量组线性无关的充分必要条件为该向量组中的任何向量都不能用向量组中的其余向量线性表示．•ｎ＋１个ｎ维向量必然线性相关．•若向量组线性无关，则减少该向量组中的向量个数，所得向量组仍线性无关；若向量组线性相关，则增加该向量组中的向量个数，所得向量组仍线性相关．•两向量线性相关，则它们的分量对应成比例．•两个３维向量线性相关，则它们共线；三个３维向量线性相关，则它们共面．•同一矩阵属于不同特征值的特征向量线性无关．２５２１（１９８７年卷Ⅳ试题）设ｎ阶方阵Ａ的秩ｒ（Ａ）＝ｒ＜ｎ，那么在Ａ的ｎ个行向量中（）（Ａ）必有ｒ个行向量线性无关．（Ｂ）任意ｒ个行向量都线性无关．...
