第一节(2).PPTVIP免费

第五章相似矩阵及二次第五章相似矩阵及二次型型讨论矩阵在相似意义下化简为对角矩阵的问题.本章讨论在理论上和实际应用上都非常重要的矩阵特征值问题,并利用特征值的有关理论,内积的定义内积的定义主要内容主要内容内积的性质内积的性质向量的长度和夹角向量的长度和夹角第一节向量的内积第一节向量的内积正交向量组的性质正交向量组的性质正交基与规范正交基正交基与规范正交基正交矩阵正交矩阵正交变换正交变换定义定义11设有设有nn维向量维向量,yyyy,xxxxnn2121令令[[xx,,yy]=]=xx11yy11++xx22yy22+···++···+xxnnyynn,[,[xx,,yy]]称为向称为向量量xx与与yy的的内积内积..一、内积的定义一、内积的定义内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩阵记号表示.当x与y都是列向量时，有[x,y]=xTy.（（11））[x,y]=[y,x];（（22））[x,y]=[x,y];（（33））[x+y,z]=[x,z]+[y,z];（（44））[x,x]≥0,且当x0时有[x,x]>0.下列性质：二、内积的性质二、内积的性质设x,y,z为n维向量，为实数，则内积有在解析几何中，我们曾引进向量的数量积度和夹角.广.并且反过来，利用内积来定义n维向量的长念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概所以n维向量的内积是数量积的一种推广.但n(x1,x2,x3)·(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3.且在直角坐标系中，有x·y=|x||y|cos,三、向量的长度和夹角三、向量的长度和夹角1.1.长度的定义长度的定义定义定义22令令,],[22221nxxxxxx||||xx||||称为称为nn维向量维向量xx的的长度长度((或范数或范数))..向量的长度具有下列性质:2.2.长度的性质长度的性质(1)(1)非负性非负性当x0时,||x||>0;当x=0时,||x||=0.(2)(2)齐次性齐次性||x||=||||x||;(3)(3)三角不等式三角不等式||x+y||≤||x||+||y||.当||x||=1时,称x为单位向量单位向量.3.3.向量的夹角向量的夹角向量的内积满足施瓦茨不等式施瓦茨不等式[x,y]2≤[x,x][y,y],由此可得1][yxx,y(当||x||||y||0时),于是有下面的定义:定义定义当当||||xx||||0,||0,||yy||||00时时,,yxx,y][arccos称为称为nn维向量维向量xx与与yy的的夹角夹角..量正交.x=0,则x与任何向量都正交,即零向量与任何向当[x,y]=0时,称向量x与y正交正交.显然,若1.1.正交向量组的定义正交向量组的定义定义定义由两两正交的非零向量构成由两两正交的非零向量构成...