第一节 特征值问题和特征向量.pptVIP免费

1第四章2本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的对角化问题。3设A是一个n阶方阵，如果存在一个数，以及一个非零n维列向量，使得第一节矩阵的特征值与特征向量定义A则称为矩阵A的特征值，而称为矩阵A的属于一、特征值与特征向量的基本概念特征值的特征向量。例如，11311122,112所以矩阵3111有一个特征值2,而11是对应的特征向量4一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：设是同时属于特征值1和2的特征向量，即1A，2A，)(21而.21说明A1、特征值问题是针对方阵而言的；2、特征向量必须是非零向量；3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值.☎nm1n1m5二、特征值与特征向量的求法A,)(AE即要求齐次线性方程组xAE)(有非零解，即方程0AE的根就是矩阵A的特征值，相应非零解即为特征向量。,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAEf)(记,次多项式的它是n称为矩阵A的特征多项式，6次方程为未知数的一元称以n0AE,次多项式的它是n称为矩阵A的特征多项式，为矩阵A的特征方程。特征方程的根，即为矩阵A的特征值。,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAEf)(记7计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：1、求特征方程0AE的全部根，即为矩阵A的全部特征值；2、对每一特征值i，求解齐次线性方程组它的全部非零解向量即为矩阵A的属于特征值i的全部特征向量。xAEi)(8例1设,120010112A求A的特征值与特征向量。解120010112AE,0)1)(1)(2(所以A的特征值为.1,1,23219120010112AE.1,1,2321，对211200301102AE,000100110相应齐次线性方程组的基础解系为因此属于特征值21的全部特征向量为)0(111kk；,110010120010112AE.1,1,2321，对12相应齐次线性方程组的基础解系为因此属于特征值12的全部特征向量为)0(222kk；220...