最大无关组和秩的定义最大无关组和秩的定义主要内容主要内容向量组的秩和矩阵的秩的关系向量组的秩和矩阵的秩的关系最大无关组的等价定义最大无关组的等价定义第三节向量组的秩第三节向量组的秩引例引例定理的不同表现形式定理的不同表现形式二、最大无关组和秩的定义二、最大无关组和秩的定义定义定义55设有向量组设有向量组AA,,如果在如果在AA中能选出中能选出rr所含向量个数所含向量个数rr称为称为向量组的秩向量组的秩.最大无关组最大无关组性无关向量组性无关向量组((简称最大无关组简称最大无关组));rr+1+1个向量的话个向量的话))都线性相关都线性相关..(ii)(ii)向量组向量组AA中任意中任意rr+1+1个向量个向量((如果如果AA中有中有(i)(i)向量组向量组AA00::aa11,,aa22,···,···,,aarr线性无关线性无关;;个向量个向量aa11,,aa22,···,···,,aarr,,满足满足只含零向量的向量组没有最大无关组,规定它的秩为0.那么称向量组那么称向量组AA00是向量组是向量组AA的一个的一个最大最大线线等于它的行向量组的秩等于它的行向量组的秩..定理定理66矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩,,也也三、向量组的秩和矩阵的秩的关三、向量组的秩和矩阵的秩的关系系R(a1,a2,···,am).今后向量组a1,a2,···,am的秩也记作从上述证明中可见:,751421201)(321,a,aa向量组的最大无关组一般不是唯一的.如例5一个最大无关组.一个最大无关组,Dr所在的r行即是行向量组的高阶非零子式,则Dr所在的r列即是列向量组的若Dr是矩阵A的一个最由R(a1,a2)=2知a1,a2线性无关;组.a1,a3和a2,a3都是向量组a1,a2,a3的最大无关此外,由R(a1,a3)=2及R(a2,a3)=2可知a2,a3的一个最大无关组.知a1,a2,a3线性相关,因此a1,a2是向量组a1,由R(a1,a2,a3)=2例例88全体n维向量构成的向量组记作Rn,求Rn的一个最大无关组及Rn的秩.显然,Rn的最大无关组很多,任何n个线性无关的n维向量都是Rn的最大无关组.向量组A和它自己的最大无关组A0等价.所以向量组A与向量组A0等价.a能由a1,a2,···,ar线性表示,即A能由A0线性a2,···,ar线性无关,根据a,r+1个向量a1,a2,···,ar,a线性相关,而a1,而由线性表示(A中每个向量都能由向量组A表示);是因为A0是A的一个部分组.故A0总能由A的条件(ii)知,对于A中任一向量的结论(3)知表示.这四、最大无关组的等价定义四、最大无关组的等价定义定义定义设向量组设向量组AA00::aa11,,aa22,···,···,,aarr是向是向量组...
