第三节 无穷小(量)和无穷大(量).pptVIP免费

1一、无穷小(量)定义以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).例如,,0sinlim0xx.0sin时的无穷小是当函数xx,01limxx.1时的无穷小是当函数xx,0)1(limnnn.})1({时的无穷小是当数列nnn注:1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈;3.零是唯一可以作为无穷小的数.2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.第四节无穷小(量)和无穷大(量)2无穷小和极限的关系:定理变量y以A为极限的充分必要条件是：变量y可以表示为A与一个无穷小量的和。即limyAyA，其中是无穷小。0x我们以x为例来证明这个定理的充分性。充分性。00ylim=0limy=Axxxx设=+A,如果，那么00lim=000,xxxx由于，根据极限的定义,当0<，时0y0AyA根据极限的定义，0limy=Axx3无穷小和极限的关系:定理变量y以A为极限的充分必要条件是：变量y可以表示为A与一个无穷小量的和。即limyAyA，其中是无穷小。必要性证明略.定理表明：极限概念可以用无穷小量概念来描述.无穷小量的性质：1°有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；定理2°无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；3°有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。4例1.sinlimxxx求解,1,为无穷小时当xx.sin是有界函数而x.0sinlimxxxxxysin01sinlimlim1sinlim000xxxxxxx.下周我们会讲求极限的四则运算，很多同学常犯如下错误：5xxxarctanlim例2.06二、无穷大(量)定义如果变量y在其变化过程中|y|无限增大，则称y为无穷大(量)，记作ylimy或精确定义：：)(lim0xfxx,0,0M.)(Mxf有,00时当xx1.无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数混为一谈；2.称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。注:7证明xx1lim0.0M,欲使Mx1,即Mx1,当x0时,恒有Mx1.所以取M1,证得证.xoy例48无穷大量与无界变量的关系(1)无穷大量显然是无界变量；(2)但无界变量不一定是无穷大量。nann])1(1[}{：例如数列当n时,}{na是无界的,但),2,1(nan不是无穷大量.再如，函数xxsin，当x时是无界的,但它并不是无穷大量。9三、无穷大量与无穷小量的关系)(1xf为无穷小;反之,若)(xf为(非零)无穷小,则)(1xf为无穷大.定理在自变量的同一变化过程中,如果)(xf为无穷大,则意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例)1...