第七节(1).PPTVIP免费

惯性定理惯性定理主要内容主要内容正定二次型的定义正定二次型的定义第七节正定二次型第七节正定二次型正定二次型的条件正定二次型的条件定理.二次型的标准形显然不是唯一的,只是标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩).不仅如此,在限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是不变的(从而负系数的个数也不变),也就是有以下中正数的个数相等中正数的个数相等..定理定理99设有实二次型设有实二次型f=xf=xTTAxAx,,它的秩它的秩为为rr,,有两个实的可逆变换有两个实的可逆变换x=Cyx=Cy及及xx=Pz=Pz使使ff==kk11yy1122++kk22yy2222+···++···+kkrryyrr22((kkii0),0),及及ff==11zz1122++22zz2222+···++···+rrzzrr22((ii0),0),则则kk11,,kk22,···,,···,kkrr中正数的个数与中正数的个数与11,,22,,······,,rr一、惯性定理一、惯性定理这个定理称为惯性定理惯性定理,这里不予证明.二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数正惯性指数，负系数的个数称为负惯性负惯性指数指数..若二次型f的正惯性指数为p，秩为r,则f的规范形便可确定为f=y12+···+yp2–yp+12–···–yn2.科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为n或负惯性指数为n的n元二次型，我们有下述定义.定义定义1010设有实二次型设有实二次型ff((xx)=)=xxTTAAxx,,如果如果二次型二次型,,并称对称矩阵并称对称矩阵AA是负定的是负定的..如果对任何如果对任何xx00都有都有ff((xx)<0,)<0,则称则称ff为为负定负定为正定二次型为正定二次型,并称对称矩阵并称对称矩阵AA是正定是正定的的;对任对任xx0,0,都有都有ff((xx)>0()>0(显然显然ff(0)=0),(0)=0),则则称称ff二、正定二次型的定义二、正定二次型的定义定理定理1010实二次型实二次型ff((xx)=)=xxTTAxAx为为正定的充正定的充它的标准形的它的标准形的nn个系数全为正，即个系数全为正，即它它三、正定二次型的条件三、正定二次型的条件推论推论对称矩阵对称矩阵AA为正定的充要为正定的充要条件是条件是AA的特征值全为正的特征值全为正..的规范形的的规范形的nn个系数全为个系数全为11，亦即它的正惯性，亦即它的正惯性指指数等于数等于nn..要条件是要条件是定理定理1111对称矩阵对称矩阵AA为正定的充要为正定的充要条件是条件是;00011112221121111nnnnaaaa,,aaaa,a对称矩阵对称矩阵AA为负定的充要条件是，奇数阶主子式为负定的充要条件是，奇数阶主子...