第六节 函数的微分 11.10已阅.pptVIP免费

1第六节函数的微分实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.20xA0x0x,00xxx变到设边长由20,Sx正方形面积2200()Sxxx.)(220xxx)1()2(,;xS的线性函数且为的主要部分,.xx的高阶无穷小当很小时可忽略:)1(:)2(xx2)(xxx0xx0一、微分概念2再如,,03时处的改变量为在点设函数xxxy3030)(xxxy.)()(3332020xxxxx)1()2(,很小时当x.320xxy),()2(xox的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?.y求函数的改变量3,,)(00在这区间内及在某区间内有定义设函数xxxxfy定义)()(00xfxxfy如果,0无关的常数而与是仅依赖于其中xxA)(xoxAy时可表示为当0x是)(xo，高阶的无穷小量比x即或记作,dd00xxxfy则称函数)(xfy在点0x可微并称xA为)(xf在点0x相应于自变量x的微分,xAyxx0d4由定义知:;d)1(的线性函数是自变量的改变量xy;)(d)2(高阶无穷小是比xxoyy;d,0)3(是等价无穷小与时当yyAyydxAxo)(1).0(1x;)(,)4(0有关和但与无关的常数是与xxfxA).(d,)5(线性主部很小时当yyx)()()(00xoxAxfxxfy5).(,)()(000xfAxxfxxf且处可导在点可微的充分必要条件是在点函数定理证(1)必要性,)(0可微在点设xxf),(xoxAy即,)(xxoAxyxxoAxyxx)(limlim00则.A).(,)(00xfAxxf且可导在点即函数0)(lim00xxxfyx.于是)()(xoxxfy,即)(xoxAy,(2)充分性,)(0可导在点函数设xxf)(lim00xfxyx.)(0可微在点函数xxf6可导可微.)(d)(xxfyxfy的微分为函数Axf)(0xxfyd)(d时，当xxf)().(ddxfxy所以导数也称为“微商”.)(xoxAy.1ddxxxy所以，1)(xf7二、微分的几何意义)(xfy0xMNTydy)(xo）yxox几何意义:(如图).d,对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当yyxx0P.,,MNMPMx可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当以直代曲)(xoxAyxyyd8例1解求函数xysin在点0x和2x的微分.xxyd)(sind,dcosxx所以xyxd)0(cosd0,dxxyxd)2(cosd2.0例2解.02.0,23时的微分当求函数...