第六节 多元函数的极值与最值.pptVIP免费

1第六节二元函数的极值与最值设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若恒有),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若恒有),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值.一、二元函数极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.2(1)(2)(3)例1处有极小值．在函数)0,0(4322yxz例２处有极大值．在函数)0,0(22yxz例３处无极值．在函数)0,0(xyz3的图形观察二元函数22eyxxyz播放播放4设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.极值的求法（称驻点）例如,点)0,0(是函数xyz的驻点，但不是极值点.驻点极值点注意：定理1（必要条件）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？5设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，设0),(00yxfx,0),(00yxfy，定理2（充分条件）则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，（1）02BAC时具有极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02BAC时没有极值；（3）02BAC时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．CBBA负定正定6求函数xyxyxyxf933),(2233的极值.求得驻点：)2,1(),2,3(),0,1(),0,3(,二阶偏导数为：66,0,66yffxfyyxyxx,例4解063096322yyfxxfyx令CBA2BAC)0,3()0,1()2,3()2,1(6012601260126012无极值极小值-5极大值31无极值1,3x2,0yf7二元函数的最值若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有惟一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.设生产某种商品需原料A和B，设A的单价为2，数量为x；而B的单价为1，数量为y，而产量为例5解，yyxxz52102022且商品售价为5,求最大利润.利润函数为yxyyxxyxL2)521020(5),(228yxyyxxyxL2)521020(5),(22令，0242004810xLxLyx解得惟一驻点，2.1,8.4yx惟一驻点为极大值点，.6.229)2.1,8.4(L，yyxx24104851122,20,0,10yyxyxxfCfBfA,02BAC,0A即为最大值点，最大利润为9一块宽24cm的矩形铁皮,两边折起...