第二节 多元函数的概念√.pptVIP免费

1第二节多元函数的概念、极限与连续前面几章讨论的函数都只有一个自变量,称一元函数.但在实际问题中,往往牵涉到多方面的因素,反映到数学上,就是一个变量依赖于多个变量的情形,这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题.本章将在一元微积分的基础上,讨论多元函数的微分法和积分法.主要讨论二元的情况.2一、多元函数的定义例1设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则长方形的体积xyzzyxV)0,0,0(zyx当x,y,z的值分别给定时，按这个公式，V就有一个确定的值与之相对应，这时我们就称V是x,y,z的三元函数.3一、多元函数的定义例2在西方经济学中，著名的Cobb—Douglas生产函数为,yCKLL＞0，K＞0分别表示投入的劳力数量和资本数量，这里C,α,β为常数，y表示产量.当K,L的值给定时，y就有一确定值与之对应，因此称y是K,L的二元函数.以上是多元函数的实例，下面给出二元函数的定义。4一、多元函数的定义设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为当2n时，n元函数统称为多元函数.类似地可定义三元及三元以上函数．多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.定义,),(yxfzDyx),(5二元函数的图形通常是一张曲面.二元函数的图形6xyzoxyzsin再如,图形如右图.2222azyx例如,球面.}.),{(222ayxyxD222yxaz.222yxaz单值分支:7解01|3|222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD求222)3arcsin(),(yxyxyxf的定义域．例3xyo8设二元函数),(yxfz在点),(000yxP的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A，对0,0,只要2020)()(0yyxx,恒有二、二元函数的极限定义，Ayxf),(则称函数),(yxfz当),(),(00yxyx时以A为极限,记为.),(lim),(),(00Ayxfyxyx00,,xyxy在以为中心，为半径的邻域中9证证明.01sin)(lim2222)0,0(),(yxyxyx|01sin)(|2222yxyx|1sin|||2222yxyx，22yx,0,，时当)0()0(022yx，|01sin)(|2222yxyx证毕．例4恒有10例5求.lim222)0,0(),(yxyxyx解由基本不等式,||222xyyx知xyyxyxyx222222x00)0,0(),(yx由夹逼定理，.0lim222)0,0(),(yxyxyx11在一元函数的极限中,0xx的方式可以任意；同理,在二元函数的极限中,),(),(000yxP...