第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、填空题1．(2016·全国Ⅱ卷改编)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝________.解析由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.答案－2．(2017·徐州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为________．解析 过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上， 圆心与切点连线的斜率k＝＝，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.答案2x＋y－7＝03．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是________．解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1,1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.答案－44．(2017·太原模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为________．解析圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以PC＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.答案y＝－5．(2016·全国Ⅲ卷)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则CD＝________.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－3y＋6＝0，解得y1＝，y2＝2，∴A(－3，)，B(0,2)．过A，B作l的垂线方程分别为y－＝－(x＋3)，y－2＝－x，令y＝0，得xC＝－2，xD＝2，∴CD＝2－(－2)＝4.答案46．(2017·盐城中学月考)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为________．解析x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和则＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以＋＝＝≥＝1，当且仅当＝，即a＝±b时取等号．答案17．(2017·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是________．解析圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，过点P作圆C的两条切线相互垂直则PC＝2，又点P在直线y＝k(x＋1)上，则圆心C到直线的距离d＝≤2，解得－2≤k≤2....
