2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）若时，与是等价无穷小，则a=.（2）设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.（3）的麦克劳林公式中项的系数是__________.（4）设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5）设为3维列向量，是的转置.若，则=.（6）设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设均为非负数列，且,,,则必有(A)对任意n成立.(B)对任意n成立.(C)极限不存在.(D)极限不存在.（2）设,则极限等于(A).(B).(C).(D).（3）已知是微分方程的解，则的表达式为（A）(B)(C)(D)（4）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.1yOx（5）设,,则(A)(B)(C)(D)（6）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则(A)当时，向量组II必线性相关.(B)当时，向量组II必线性相关.(C)当时，向量组I必线性相关.(D)当时，向量组I必线性相关.三、（本题满分10分）设函数问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程所确定，求五、（本题满分9分）计算不定积分六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；2(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解.七、（本题满分12分）讨论曲线与的交点个数.八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.(A)求曲线y=f(x)的方程；(B)已知曲线y=sinx在上的弧长为，试用表示曲线y=f(x)的弧长s.九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1)根据t时刻液面的面积，写出t与之间的关系式；(2)求曲线的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)十、（本题满分10...
