1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)设,其中可微,则___________.(2)若,则___________.(3)差分方程的通解为___________.(4)若二次型是正定的,则的取值范围是___________.(5)设随机变量和相互独立且都服从正态分布,而和分别是来自总体的简单随机样本,则统计量服从___________分布(2分),参数为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设,则当时,是的()(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但不等价的无穷小(2)若,在内,且,则在内有()(A),(B),(C),(D),(3)设向量组,,线性无关,则下列向量组中,线性无关的是()(A),,(B),,(C),,(D),,1(4)设为同阶可逆矩阵,则()(A)(B)存在可逆矩阵,使(C)存在可逆矩阵,使(D)存在可逆矩阵和,使(5)设两个随机变量与相互独立且同分布：,则下列各式中成立的是()(A)(B)(C)(D)三、(本题满分6分)在经济学中,称函数为固定替代弹性生产函数,而称函数为Cobb-Douglas生产函数(简称C—D生产函数).试证明：但时,固定替代弹性生产函数变为C—D生产函数,即有.四、(本题满分5分)设有连续偏导数,和分别由方程和所确定,求.五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系(万元/吨),为销售量(单位：吨),商品的成本函数(万元).(1)若每销售一吨商品,政府要征税(万元),求该商家获最大利润时的销售量；(2)为何值时,政府税收总额最大.六、(本题满分6分)设函数在上连续、单调不减且,试证函数2在上连续且单调不减(其中).七、(本题满分6分)从点作轴的垂线,交抛物线于点；再从作这条抛物线的切线与轴交于,然后又从作轴的垂线,交抛物线于点,依次重复上述过程得到一系列的点.(1)求；(2)求级数的和.其中为自然数,而表示点与之间的距离.八、(本题满分6分)设函数在上连续,且满足方程,求.九、(本题满分6分)设为阶非奇异矩阵,为维列向量,为常数.记分块矩阵，其中是矩阵的伴随矩阵,为阶单位矩阵.(1)计算并化简；(2)证明：矩阵可逆的充分必要条件是.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3；矩阵的属于特征值1,2的特征向量分别是3.(1)求的属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵.十一、(本题满分7分)假设随机变量的绝对值不大于1；；在事件出现的条件下,在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求的分布函数.十二、(本题满分6分)游客乘电梯从底层...
