2000年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析一、填空题（1）设,,xyzfxygyx⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠其中,fg均可微，则zx∂=∂________.【答】1221.yyffgxx′′′+−【详解】2122211.zyyfyfgyffgxyxxx∂⎛⎞′′′′′′=⋅+⋅+⋅−=+−⎜⎟∂⎝⎠（2）设21xxdxee+∞−=+∫__________【答】.4eπ【详解】()22221111arctan0xxxxxxdxedxdtteteeeteeee+∞+∞+∞−+∞===+++∫∫∫1244eeπππ⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠（3）已知四阶矩阵A与B相似；矩阵为A的特征值1111,,,,2345则行列式-1B-E=______.【答】24【详解】因为A与B相似，而相似矩阵有相同的特征值，所以B得四个特征值1111,,,,2345又由0,iiλλ≠Bx=x,有()-111ixxλ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠B-E，可见矩阵B-E有特征值11iλ−，即1，2，3，4.从而有行列式-1B-E=1×2×3×4＝24（3）设随机变量X的概率密度为()[][]1,0,1,32,3,6,90,xfxx⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩其他若k使得{}2,3PXk≥=则k的取值范围是_________【答】[]1,3【详解】由题设{}2,3PXk≥=知道{}211,33PXk<=−=而{}().kPXkfxdx−∞<=∫再对照概率密度函数的定义，可见上式成立的充要条件是13.k≤≤此时{}1011.33PXkdx<==∫（5）假设随机变量X在区间]2,1[−上服从均匀分布，随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=010X001xxY若若若，则方差DY=________________.【答】98【详解】因为X在区间]2,1[−上服从均匀分布，所以其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=其他02131)(xxf于是{}310}-1P{Y=<==XP{}00}0P{Y====XP{}320}1P{Y=>==XP因此3132100311)(=×+×+×−=YE13210031)1()(2222=×+×+×−=YE故98911)]([)()(22=−=−=YEYEYD二、选择题（1）设对任意的x，总有),()()(xgxfx≤≤ϕ且0)]()([lim=−∞→xxgxϕ，则)(limxfx∞→(A)存在且等于零(B)存在但不一定为零(C)一定不存在(D)不一定存在【】【答】[D]【详解】若令1)(,1)(,1)(=+=−=−−xfexgexxxϕ，则有),()()(xgxfx≤≤ϕ且,0)]()([lim=−∞→xxgxϕ1)(lim=∞→xfx可排除（A）（C）两个选项.又如xxxxxexfeexgeex=+=−=−−)(,)(,)(ϕ显然)(),(),(xfxgxϕ满足题设条件，但)(limxfx∞→不存在。因此（B）也可排除，剩下（D）为正确选项.（2）设函数()fx在点ax=处可导，则函数)(xf在点ax=处不可导的充分条件是(A)0)(0)('==afaf且（B）0)(0)('≠=afaf且(C)0)(0)('>>afaf且(D)0)(0)('<
