第五节指派问题（AssignmentProblem）1.标准指派问题的提法及模型指派问题的标准形式是：有n个人和n件事，已知第i个人做第j件事的费用为cij（i，j=1，2，…，n），要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n件事的总费用最小。njiorxxxtsxcZijnjijniijninjijij,,2,1,,1011.min1111数学模型为:01ijx若指派第i个人做第j件事若不指派第i个人做第j件事(i,j=1,2,…,n)设n2个0-1变量其中矩阵C称为是效率矩阵或系数矩阵。其解的形式可用0-1矩阵的形式来描述，即(xij)nn。标准的指派问题是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的0-1规划问题和特殊的运输问题。1955年W.W.Kuhn利用匈牙利数学家D.Konig关于矩阵中独立零元素的定理,提出了解指派问题的一种算法,习惯上称之为匈牙利解法。2.匈牙利解法匈牙利解法的关键是指派问题最优解的以下性质：若从指派问题的系数矩阵C=（cij）的某行（或某列）各元素分别减去一个常数k，得到一个新的矩阵C’=（c’ij)，则以C和C’为系数矩阵的两个指派问题有相同的最优解。（这种变化不影响约束方程组，而只是使目标函数值减少了常数k，所以，最优解并不改变。）对于指派问题，由于系数矩阵均非负，故若能在在系数矩阵中找到n个位于不同行和不同列的零元素（独立的0元素），则对应的指派方案总费用为零，从而一定是最优的。作变换，其不变性是最优解匈牙利法的步骤如下：步1：变换系数矩阵。对系数矩阵中的每行元素分别减去该行的最小元素；再对系数矩阵中的每列元素分别减去该列中的最小元素。若某行或某列已有0元素，就不必再减了（不能出现负元素）。步2：在变换后的系数矩阵中确定独立0元素（试指派）。若独立0元素已有n个，则已得出最优解；若独立0元素的个数少于n个，转步3。确定独立0元素的方法：当n较小时，可用观察法、或试探法；当n较大时，可按下列顺序进行•从只有一个0元素的行（列）开始，给这个0元素加圈，记作，然后划去所在的列（行）的其它0元素，记作。•给只有一个0元素的列（行）的0加圈，记作，然后划去所在行的0元素，记作。•反复进行，直到系数矩阵中的所有0元素都被圈去或划去为止。•如遇到行或列中0元素都不只一个（存在0元素的闭回路），可任选其中一个0元素加圈，同时划去同行和同列中的其它0元素。被划圈的0元素即是独立的0元素。•步3：作最少数目的直线，覆盖所有0元素（目的是确定系数矩阵的下一个变换），...
