专题三简单的几何证明与计算数学此类题型在近几年的中考中每年必考，均涉及证明和计算．此类题型的考查形式比较灵活，证明常以相似和全等为载体，并结合三角形及四边形的知识来证明线段的位置关系或数量关系，及特殊图形的形状探究；计算则把几何与代数知识结合起来，渗透数形结合思想，综合性较强．预计2018年仍会以解答题的形式进行考查．【例1】(2017·重庆)在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.【思路引导】(1)先计算AM，CM的长，再由勾股定理可得AC的长．(2)延长EF到点G，使得FG＝EF，先证明△BMD≌△AMC，得AC＝BD，再证明△BFG≌△CFE，可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠E.解：(1) ∠ABM＝45°，AM⊥BM，∴AM＝BM＝ABcos45°＝32×22＝3.则CM＝BC－BM＝5－3＝2，∴AC＝AM2＋CM2＝22＋32＝13.(2)证明：延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG. DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC(SAS)．∴AC＝BD.又CE＝AC，∴BD＝CE. BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE，∠G＝∠E.∴BD＝CE＝BG，∴∠BDG＝∠G＝∠E.【例2】如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．【思路引导】(1)由两角相等即可证明；(2)由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可求解．解：(1)证明： 四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EAF.又 EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA.(2) ∠B＝90°，AB＝AD＝12，BM＝5，∴AM＝122＋52＝13. F是AM的中点，∴AF＝12AM＝6.5. △ABM∽△EFA，∴BMAF＝AMAE，即56.5＝13AE.∴AE＝16.9，∴DE＝AE－AD＝4.9.【例3】(2017·广东)如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．(1)求证：AD⊥BF；证明：如图，连接DB，DF. 四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA.在△BAD与△FAD中，AB＝AF，∠BAD＝∠FADAD＝AD，，∴△BAD≌△FAD.∴DB＝DF.∴点D在线段BF的垂直平分线上． AB＝AF，∴A在线段BF的垂直平分线上．∴AD是线段BF的垂...
