专题四特殊平行四边形的证明与计算数学毕节地区菱形的性质与判定【例1】(2015·安顺)如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC∥交AB于点E，DFAB∥交AC于点F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．思路点拨：(1)证明四边形AEDF为平行四边形；(2)▱AEDF为菱形，证明∠DAF＝∠FDA即可．(1)证明： DEAC∥，DFAB∥，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF.(2)解：四边形AEDF是菱形．理由如下： 四边形AEDF是平行四边形，∴∠EAD＝∠FDA，又AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAF，∴∠DAF＝∠FDA，∴AF＝DF，∴平行四边形AEDF为菱形．满分技法：菱形的主要性质是：四条边相等；两条对角线互相垂直平分．菱形的判定方法有很多种，根据已知条件合理选择判定方法是解题的关键；菱形的面积可转化为两个三角形的面积，或用对角线乘积的一半来计算．矩形、正方形的性质与判定【例2】(2017·安顺模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，ADB⊥C，垂足为点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CEAN⊥，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．思路点拨：(1)结合题意，运用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判断；(2)根据正方形的判定，假设AD＝12BC，由已知DC＝12BC，再结合(1)问中结论，可证四边形ADCE为正方形．(1)证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC. AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝12×180°＝90°.又 AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°.∴四边形ADCE为矩形．(2)解：当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．证明： ∠BAC＝90°，AB＝AC，ADBC⊥于D.∴∠ACD＝∠DAC＝45°，∴DC＝AD.由(1)知四边形ADCE为矩形．∴矩形ADCE是正方形．满分技法：矩形的性质：对角线相等，对角线分矩形为四个等腰三角形，有时与30°角，60°角，120°角为背景命题，判定矩形可以从三个角为直角，或对角线平分且相等的角度，判定正方形，既要判定它为矩形又要判定它为菱形．1．(2017·黔南州模拟)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CFAB∥，交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AEDCFD≌△；(2)求证：四边形AECF是菱形；(3)若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？解：(1)证明： PQ为线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDF＝90°， CF∥AB，∴∠EAD＝∠FCD.在△AED与△CFD中，∠EAD＝∠FC...
