-1-三反证法与放缩法-2-三反证法与放缩法ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握反证法和放缩法的依据.2.会利用反证法和放缩法证明有关不等式.-3-三反证法与放缩法ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.反证法中的数学语言剖析:反证法适宜证明“存在性问题,唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,直接证明有困难时,常采用反证法.下面我们列举以下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此.常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是没有全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个及以上是有不全不都是-4-三反证法与放缩法ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.放缩法的尺度把握等问题剖析:(1)放缩法的理论依据主要有:①不等式的传递性;②等量加不等量为不等量;③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较;④基本不等式与绝对值不等式的基本性质;⑤三角函数的值域等.-5-三反证法与放缩法ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航(2)放缩法使用的主要方法:放缩法是不等式证明中重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.比如,舍去或加上一些项:ቀ𝑎+12ቁ2+34>ቀ𝑎+12ቁ2;将分子或分母放大(缩小):1𝑘2<1𝑘(𝑘-1),1𝑘2>1𝑘(𝑘+1),1ξ𝑘<2ξ𝑘+ට𝑘-1,1ξ𝑘>2ξ𝑘+ඥ𝑘+1(k∈R,k>1)等.-6-三反证法与放缩法ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一利用反证法证明不等式【例1】若a3+b3=2,求证:a+b≤2.分析:本题结论的反面比原结论更具体、更简洁,宜用反证法.证法一:假设a+b>2,则a>2-b,故2=a3+b3>(2-b)3+b3,即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,这不可能,从而a+b≤2.证法二:假设a+b>2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8.由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6.故ab(a+b)>2.又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2.∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2).∴a2-ab+b2
