-1-第三讲逆变换与逆矩阵-2-一逆变换与逆矩阵-3-一逆变换与逆矩阵ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.通过具体变换,了解逆变换的定义,理解逆矩阵的意义;通过具体的投影变换,体会逆矩阵可能不存在.2.会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质,并了解其在变换中的意义.3.会求逆矩阵,并能用其性质解决简单的问题.-4-一逆变换与逆矩阵ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航如果一个线性变换是可逆的,那么它的逆变换是唯一的吗?如果一个矩阵是可逆的,那么它的逆矩阵唯一吗?剖析:若线性变换σ是可逆的,对应的逆变换为ρ,则σρ=ρσ=I.如果还有一个变换ρ'也是σ的逆变换,则σρ'=ρ'σ=I.这样对平面内的任一向量α来说就会有:ρα=I(ρα)=(ρ'σ)(ρα)=ρ'(σρ)α=ρ'(Iα)=(ρ'I)α=ρ'α.因为α是任意的,从而ρ=ρ',所以如果σ是可逆的,则对应的逆变换是唯一的.如果B1,B2都是A的逆矩阵,则B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2,从而B1=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1)=B2E2=B2,即B1=B2.所以如果矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵也是唯一的.-5-一逆变换与逆矩阵ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一逆变换【例1】切变变换ρ:൜𝑥'=𝑥,𝑦'=-2𝑥+𝑦把直角坐标系𝑥𝑂𝑦内的任一向量α变成α',可以通过一个怎样的变换将α'变回α?分析:可根据“原路返回”的思路求解.解:因为原变换是沿y轴平移-2x个单位的切变变换,所以可沿y轴再平移2x个单位把α'变回α,即可通过变换σ:൜𝑥'=𝑥,𝑦'=2𝑥+𝑦达到目的.反思旋转、切变、伸缩、反射等这四种变换都是可逆的,可按沿“原路返回”的方法找到其逆变换.-6-一逆变换与逆矩阵ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二逆矩阵【例2】从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,如果存在,求出其逆矩阵.(1)A=ۉۈۇ1-201یۋۊ;(2)B=ቌ12121212ቍ.-7-一逆变换与逆矩阵ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)矩阵A对应的是切变变换,它存在逆变换,所以矩阵A存在逆矩阵.设逆矩阵A-1=൮abcd൲,则AA-1=E2,即AA-1=ۉۈۇ1-201یۋۊ൮abcd൲=൮1001൲,则ە۔ۓ𝑎-2𝑐=1,𝑏-2𝑑=0,𝑐=0,𝑑=1.即൞𝑎=1,𝑏=2,𝑐=0,𝑑=1.故A-1=൮1201൲.(2)矩阵B对应的是投影变换,不存在逆矩阵.反思除利用AA-1=E2求A-1外,也可利用线性...
