-1-三线性变换的基本性质-2-(一)线性变换的基本性质-3-(一)线性变换的基本性质ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.理解数乘平面向量和平面向量的加法的概念,掌握线性变换的基本性质1、性质2及定理1.2.会利用线性变换的性质及定理进行相关的计算,会确定直线在线性变换后的图形,并能解决简单的实际问题.-4-(一)线性变换的基本性质ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航为什么线性变换把平面上的直线变成直线(或一点)?剖析:设P1,P2为直线l上的两个定点,P为l上的一个动点,如图所示.记α1=𝑂𝑃1ሬሬሬሬሬሬሬԦ,α2=𝑂𝑃2ሬሬሬሬሬሬሬԦ,𝛄=𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ,则𝑃1𝑃ሬሬሬሬሬሬሬԦ∥𝑃1𝑃2ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ,即存在实数λ,使𝑃1𝑃ሬሬሬሬሬሬሬԦ=𝜆𝑃1𝑃2ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ.即γ-α1=λ(α2-α1),从而γ=(1-λ)α1+λα2.令λ1=1-λ,λ2=λ,则γ=λ1α1+λ2α2(其中λ1,λ2是实数,且λ1+λ2=1),即任意一条直线l都可以表示为γ=λ1α+λ2β(λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1).-5-(一)线性变换的基本性质ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航设直线l在线性变换ۉۇx'y'یۊ=𝐀൮xy൲的作用下变成γ'=A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ(λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1).(1)如果Aα≠Aβ,则由Aα和Aβ的终点确定直线l',即把直线l变为直线l'.(2)如果Aα=Aβ,则γ'=(λ1+λ2)Aα=Aα,Aα的终点是平面上一个确定的点.所以矩阵所对应的线性变换把平面上的直线变成直线或一点.-6-(一)线性变换的基本性质ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一利用线性变换的性质及定理进行计算【例1】已知旋转角为π3的旋转变换对应的矩阵为A,α=൮37൲,𝛃=ۉۈۇ-16یۋۊ,求Aα,A(2α+3β),A(-α+2β).分析:根据性质1及定理1直接求解.-7-(一)线性变换的基本性质ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:由题意,得A=ቌ12-ξ32ξ3212ቍ,∴Aα=ቌ12-ξ32ξ3212ቍ൮37൲=ቌ3-7ξ323ξ3+72ቍ,Aβ=ቌ12-ξ32ξ3212ቍۉۈۇ-16یۋۊ=ቌ-12-3ξ3-ξ32+3ቍ.-8-(一)线性变换的基本性质ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四∴A(2α+3β)=2Aα+3Aβ=ۉۈۇ3-7ξ33ξ3+7یۋۊ+ۉۇ-32-9ξ3-3ξ32+9یۊ=ۉۇ32-16ξ33ξ32+16یۊ,A(-α+2β)=-...
